Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
объективные характеристики скорости изменений объективных тензоров.
?. Объективные характеристики скорости изменений тензорных полей
Среди многочисленных сконструированных объективных величин,
характеризующих скорость изменения тензорных полей, наибольший интерес
для приложений к деформируемым телам, рассматриваемым в следующих главах,
представляют две величины. Первая - это так называемая производная по
времени с учетом вращения, частным случаем которой является яуман-новская
производная, вторая - это производная по времени с учетом переноса.
Понятие производной с учетом вращения просто, но строго вводится
следующим образом. Выберем в качестве системы отсчета триаду единичных
ортогональных векторов е", а - = 1,2,3, в точке (х, t). Условия
единичности длины этих векторов и их ортогональности имеют вид
А = QQr = -АС
(2.3.31)
v* = Qv + с + А (х* - с),
Y* = Qv + с + 2А (v* - с) + (А - А2) (х* - с), V* = QV + QV,
D* = QDQr, Q* = Q12Qr + А.
(2.3.32)
(2.3.33)
(2.3.34)
(2.3.35)
з
? ei.a)ew = 6it, е(а). е(р> __ 6ар, (2.3.36)
96 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
где (а)-не тензорный индекс, а индекс, служащий для идентификации
векторов триады. По аналогии с уравнением (2.3.25) находим
~= "*<">, а= 1,2,3, (2.3.37)
где (о= {со;/ = -со,-,}-абсолютная угловая скорость вращения триады.
Пусть А - тензорное поле второго порядка. Компоненты А относительно
триады (е(")} имеют значения Ла0 = e^AuefK Взяв материальную производную
от обеих частей этого уравнения, с учетом (2.3.37) получим = (ДА)ц
ef'ef*, где
ФшА)ц = Ац - о')UtAkj - (pjkAik- (2.3.38)
Аналогично для векторного поля V с компонентами К,- найдем
(DeiV)i = Vi-<i>ilVl. (2.3.39)
Уравнения (2.3.38) и (2.3.39) определяют производные по времени от А и V
с учетом вращения по отношению к триаде е(а). Наибольшее значение имеет
частный случай, когда (c) есть не что иное, как тензор скоростей вращения
Q, т. е. (c) = й. В этом случае соотношения (2.3.38) и (2.3.39) определяют
яуманнов-скую производную1), обозначаемую через Д, от полей А и V:
(DjA)^ = Ац - QikAkl QjkAik, (2.3.40)
{D,V)t = V, - QtlV,. (2.3.41)
Из этих определений следует, что ДА и ДУ объективны, если А и V
объективны. Понятно, что определения производной с учетом вращения и
яуманновской производной подчеркивают роль эффектов вращения, поэтому эти
производные будут иг-
!) Общее определение яуманновской производной [Germain, 1973] дается при
помощи понятия переноса собственного поворота, обозначаемого через Я, по
следующей формуле:
D,V = 1/m -L {Я-1 (t, t + s) [V (if + s) - V (01).
S-> 0 S
Для векторного поля V справедливо равенство
Я~1 [V (t + s)] = Rr (/, t + s) V (t + s),
где R - тензор поворота. Приведенное выше определение получается с учетом
равенства R = Si, если за отсчетную конфигурацию Жк выбирается
конфигурация в момент времени t. Можно показать, что яуманновская
производная - производная с учетом вращения по отношению к триаде е*а),
которая в любой данный момент времени t полагается направленной вдоль
главных осей тензора скоростей деформации D (так называемая теорема
Госев-ского; см. [Eringen, 1975]).
§ 2.3. Скорости деформации и принцип объективности
97
рать важную роль при исследовании прецессии магнитного спина в
деформируемых ферромагнетиках (гл. 6).
Понятие производной по времени с учетом переноса можно ввести следующим
образом. Пусть V, например, - векторное поле в текущей конфигурации Ж.
Это векторное поле можно "перенести назад" к отсчетной конфигурации Жк
двумя разными способами по формулам
Проведенные операции можно назвать правым и левым переносами
соответственно. Вычислив материальную производную
называются правой и левой производными по времени с учетом переноса
соответственно от векторного поля V. Так как F и F-1 объеюкшные, то и
3)сУ, и DcV - объективные векторные поля, если поле V объективное. В
дальнейшем будет использоваться только левая производная по времени с
учетом переноса. Ее определение элементарно распространяется на тензоры
более высокого порядка. Например, для тензора второго порядка А имеем
Кроме того, имеется простое соотношение между левой производной с учетом
переноса и яуманновской производной от одного и того же объекта.
Например,
В заключение введем еще одну производную по времени с учетом переноса,
которая будет иметь значение при формулировке уравнений электродинамики
сплошных сред; эта производная обозначается звездочкой над буквой и
определяется формулой
(2.3.42)
(2.3.43)
по времени от V и V при помощи уравнений (2.3.7) и (2.3.9), получим
V = (0cV)F, V = F-1 (DCV), (2.3.44)
где величины
?>CV = V + VL = (VF)F->, т. е. (2)cV)t = Vt + V,vu г, (2.3.45)
DcVsV-LV = F(FJlV), т. е. (DcV)t = Vt - vt, ,Vh (2.3.46)
(DcA.)ij - Ац - V{t kAkj - Н/, kAik- (2.3.47)
Z>CV = Z>;V-DV,
DcA = DjA - (DA + AD).
(2.3.48)
A = DCA + A tr D = DCA + A (V • v) (2.3.49)
7 Ж. Можен
98
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
для любого тензорного поля А(х, t). Для векторного поля V определение
