Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
U, такой, что U2 = FrF. Выражение для U можно найти в явном виде, если
выбрать систему координат с осями, направленными вдоль главных осей
тензора С; в этом случае тензор U имеет диагональную матрицу, элементы
которой равны положительным квадратным корням аналогичных элементов
матрицы С. Такое построение показывает, что U единственно и можно
записать U=(FrF)1/2. Теперь определим R = FU-1. Очевидно, что RrR = 1.
Аналогично показывается, что существует тензор V, такой, что V = B'/j, и
ортогональный тензор R' = V_1F. Наконец, покажем, что R = R';
действительно, из равенства F = = RU = (RURr) R = VR' следует, что
искомое разложение единственно, а так как тензор RURr также симметричен,
то необходимо выполняются RURr = V и R = R', ч. т. д.
Из теоремы разложения Коши следует, что деформация локального элемента
среды F может быть получена чистым растяжением элемента на величину,
скажем, Ха, а =1,2,3, вдоль трех подходящих взаимно ортогональных осей
еа, а затем поворотом элемейта как твердого тела относительно этих осей;
можно выполнить сначала поворот, а затем растяжения вдоль получившихся
осей. Коэффициенты %а называются главными коэффициентами растяжения при
деформации. Единичные собственные векторы тензоров U и V направлены вдоль
главных осей тензора деформации в конфигурациях Жя и Ж соответственно;
действительно, так как
Таким образом, тензоры U и V имеют одинаковые собственные значения, но
разные собственные векторы, а тензор R определяет конечный поворот,
переводящий главные оси тензора U в главные оси тензора V. Тензор R
ортогональный, но не
(2.2.32)
(2.2.33)
86
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
обязательно собственно ортогональный, т. е. detR=±l (но
det R сохраняет одно из этих значений для всех X и t по не-
прерывности). Следовательно,
/ = det U = detV. (2.2.34)
Тензор R называется тензором поворота, а тензоры U и V - правым и левым
тензорами чистого растяжения соответственно. Уравнение (2.2.30) в
покомпонентной записи имеет вид
xi,K - RiL^LK==VijRjic. (2.2.35)
При доказательстве теоремы о разложении были получены уравнения С = U2 и
В = V2; это показывает, что, тогда как тензоры С и В рассчитываются по их
определениям - уравнениям (2.2.20) и (2.2.29), вычисление тензоров U, V и
R в конкретных случаях может оказаться громоздким, так как нужно
выполнить иррациональные операции. Тем не менее фундаментальные
разложения (2.2.30) играют главную роль при доказательстве ряда общих
теорем.
В заключение приведем выражения для инвариантов тензоров С и В(tr(trace)
- след):
з
/] = tr В = tr С = A,i -)- %2 = 2 ^а>
a=l
12 = Vs [(tr В)2 - tr В2] = "/2 [(tr C)2 - tr C2] =
= A,i?J -J- Л2А.3 А-з^ь (2 2 36) з
/3 = det В = det С = I = 7-1 /-4-3 = [| 7.u.
a=l
В. Бесконечно малые деформации
До сих пор никаких предположений о величине деформаций не делалось,
поэтому полученные выше результаты применимы к случаю конечных
деформаций. Однако для большинства приложений достаточно приближенной
теории малых деформаций. Прежде чем перейти к описанию этой приближенной
теории, нужно ввести понятие вектора перемещения. Для простоты
предположим, что начала систем координат хь, и Хк совпадают. Тогда вектор
перемещения и с компонентами и* в системе координат Xk и компонентами и*
в системе Хк определяется соотношениями
uk~xk ^kK^K> uK - ^Kixi (2.2.37)
Здесь символ 6kK = &Kk образует матрицу перехода от одной системы
координат к другой-, он играет роль, аналогичную роли символа Кронекера.
Продифференцировав (2.2.37) по коорди-
§ 2.2. Перемещение и деформация сплошной среды 87
натам, получим
F = I + Н, т. е. xi;K = 6iK + ut,K, (2.2.38)
F_1 = I - h, т. e. XK,i = bKi-uK,i, (2.2.39)
где H = i, K= 1,2,3} и h = {"*,;; K, i = 1, 2, 3} - градиенты
перемещения. Из уравнений (2.2.23) и (2.2.24) следует,,
что
E = V2(H + Hr + HrH), т. е. EKL = 42{uK>L + uLtK + uMtKuMtL)r
(2.2.40)
% = '/2 (h + hr - hrh), т. е. $ц = '/г ("", 1 + ит. /).
(2.2.41)
Это - точные формулы. Но если |Н| и |h| рассматриваются как бесконечно
малые первого порядка то в вышенаписан-ных кинематических соотношениях
можно пренебречь слагаемыми порядка | Н |2 или |h|2. Тогда
с = U2 " В = V2 ~ I + Н + Нг, (2.2.42)
и " V " I + '/2 (Н + Нг), (2.2.43)
R " I + 7г(Н - Нг), (2.2.44)
Е~Ш "72(Н + Нг). (2.2.45)
С той же степенью точности уравнения (2.2.10) имеют вид
1ц ~ 6к1~дХ^' ~дТ^^ 6iK Hxl' (2.2.46)
Это означает, что в теории бесконечно малых деформаций лаг-ранжев и
эйлеров тензоры деформаций совпадают. В частности, можно использовать
только одну систему координат (например, xk). Тогда уравнения (2.2.44) и
(2.2.45) принимают вид
Ru *** ЬцЛ'Гц, Ец " ё'ц "" ец, (2.2.47)
где
ГЦ - u[t, /1 7г (ui, t ui, i) = rH' rn " ,o\
I If . 4 OJ
вц - ufyi) "efi-
Тензоры гц и ер - (антисимметричный) тензор бесконечно малого поворота и
линеаризованный эйлеров тензор деформации соответственно. Последний -
симметричный тензор деформации из классической линейной теории упругости.
