Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(2.2.23), (2.2.24) и (2.2.21), приходим к следующим результатам:
ds2 = 2dx • D • dx, (2.3.10)
С = 2Fr DF, (2.3.11)
E = FrDF, или EKL = DijXi)KXjt L, (2.3.12)
g = D - (SL + LTg). (2.3.13)
Кроме того, тензор L при помощи уравнений (2.3.7) и (2.3.9)
¦с учетом (2.2.8) и (2.2.9) можно выразить через F и (F-1) ;
L = FF_1 = -FFri. (2.3.14)
Уравнения (2.3.7) и (2.3.10) -(2.3.12), очевидно, показывают, что тензор
D выражает скорость деформации, т. е. скорость изменения во времени
расстояния между двумя близкими -материальными точками. В частности, если
за отсчетную кон-
§ 2.3. Скорости деформации и принцип объективности
91
фигурацию Жц принимается конфигурация в момент времени ty то уравнение
(2.3.12) принимает вид
E = D. (2.3.15)
Нужно отметить, что в теории конечных деформаций тензор D не обязательно
совпадает с материальной производной тензора <S (см. уравнение (2.3.13)).
В качестве упражнения читателю представляется доказательство следующих
формул для скорости изменения во времени элементов объема и поверхности,
которые можно полу-
чить непосредственным вычислением:
J = detF = /tr(F~*F) = /trL = /(V • v), (2.3.16)
dv = (V-\)dv, (2.3.17)
n da = [(V • v) I - Lr] n da. (2.3.18)
Уравнения (2.3.16) - (2.3.18) представляют особый интерес, так как они
позволяют элементарно получить теоремы переноса (см. приложение II).
В теории бесконечно малых деформаций вышеполученные результаты, очевидно,
принимают вид
L"*F = H, т. е. vijj = iiij, (2.3.19)
D т. е. Dli = int,j) = elh (2.3.20)
Q R, т. е. Qц = Щ{, j] = fit. (2.3.21)
В. Движения абсолютно твердого тела
Движения, в которых й(х, 0 = 0 Для всех xeJt и для любого t, называются
безвихревыми. Такие движения составляют основной предмет исследования в
классической гидродинамике. Движения, в которых
D (х, 0 = 0 (2.3.22)
для всех хё!( и для любого t, называются движениями абсолютно твердого
тела. Действительно, если материальное тело совершает только перемещения
абсолютно твердого тела (определенные соотношениями (2.2.26)), то с
учетом уравнения
(2.2.26), справедливого для всех невырожденных F, условие
(2.3.22) будет выполняться; таким образом, условие (2.3.22) необходимо
для того, чтобы поле скоростей v (х, t) являлось полем скоростей
абсолютно твердого тела. Достаточность этого условия показывается
следующим образом. Из соотношений
(2.3.5) имеем следующее тождество, в покомпонентной записи
<92 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
имеющее вид
Qil, k = '/г (vt, jk - "/, ik) = '/г (О/, Ik + Vk, ц ~ "*, t, - v,t lk) =
Dik, I Djk, i•
Если все компоненты Dij равны нулю, то все компоненты Q*/ постоянны в
пространстве. Это означает, что Q;/> * = 0. Величины Vi,j при условии Dij
-0 также постоянны в пространстве, т. е. пространственно однородны.
Следовательно, щ- линейные функции Xi, которые можно записать в виде
vt = Qttx, + Vt. (2.3.23)
Здесь Q,/ = -Qjlt О,/, * = 0, Vi, / = 0. Величины О,/ и Vi, очевидно,
могут зависеть от времени. Выражение (2.3.23) представляет поле скоростей
абсолютно твердого тела. Оно состоит из одновременного вращения с
пространственно однородной угловой сторостью и поступательного движения с
пространственной однородной скоростью; следовательно, определяется шестью
зависящими от времени параметрами. Уравнение (2.3.23) можно
проинтегрировать по времени следующим образом. Пусть J? - абсолютно
твердое тело, движущееся в системе отсчета 31 (не путать с системой
координат). С телом $ можно связать орто-нормированную систему координат
31*. Координаты х,- точки М. тела М в системе 31* остаются постоянными с
течением времени вследствие абсолютной твердости тела, поэтому они могут
быть взяты в качестве лагранжевых. Выражения для координат точки М в
системе 31 даются формулами перехода к другой орто-нормированной системе
координат. Следовательно, лагранжево описание движения абсолютно твердого
тела имеет вид
х=Рг(0х* + с(0, (2.3.24)
где с - зависящий от времени вектор в 31 и Р(0 - ортогональная матрица,
для которой РГ=Р-1, так что РРГ = 1. Для вектора v в 31, представленного
вектором v* в 31*, имеем следующие формулы преобразования (с опускается):
V* = Р (t) V, V = Рг (*) V*.
Если вектор V жестко скреплен с телом J?, то вектор V* постоянный при
изменении t. Следовательно,
j3f=0fL)V"QV- <2'3'25>
где
Q (^)Г Р, т. е. Qtl = Pki. (2.3.26)
Антисимметричность тензора Q легко показать, если взять производную по
времени от РГР = 1. Пусть теперь Q - вторая
§ 2.3. Скорости деформации и принцип объективности
93
точка в твердом теле (с координатами у{ и у* в системах 3t и 3L*
соответственно). Тогда, согласно уравнению (2.3.24), у - = Рг(/)у* +
с(/). Положим X = у - х, X* = у* - х*. Вычислив производную по времени от
X при помощи соотношений (2.3.25),
(2.3.26) и (2.3.7), получим известное уравнение:
Наконец, совместим точку Q с началом системы координат 31, тогда скорость
точки М определяется уравнением
(2.3.23); здесь все компоненты взяты в системе 31.
