Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
выделенной материальной точки X, не влияют существенно на значения
зависимых переменных в точке X. Этот принцип также имеет онтологическую
природу в том смысле, что он подчеркивает влияние того, что близко,
наводя тем самым на предположение, что только "причины" из произвольно
малой окрестности точки X существенно влияют на зависимые определяющие
переменные в точке X (так называемая аксиома близости). Этот принцип,
очевидно, приводит к понятию материалов материально-градиентного типа и к
теории материалов п-го градиента. Например, пусть А и В - "причина" и
"следствие" соответственно. Тогда определяющее уравнение вида
А(х, /) = ^[V*B(X, 0L X = X (х, 0 (2.5.1)
соответствует теории первого градиента по отношению к переменной В. Все
классические теории сплошных сред (теория упругости, гидродинамика) имеют
этот тип. Теория градиентов более высокого порядка определяется по
индукции. Например, уравнение
А (х, 0 = ^[V*B(X, /), V*V*B(X, /)]
соответствует теории градиента второго порядка. В настоящей работе
рассматриваются только теории градиента первого порядка. Контрпример
принципу близости представляют так называемые нелокальные теории, которые
в этой книге затрагиваться не будут [Кунин, 1975; Maugin, 1979b].
Оставшийся важный принцип теории определяющих уравнений имеет
эпистемологическую природу. Его эвристическую ценность составляет то, что
он отделяет объективные и физические характеристики вещества от тех,
которые являются субъективными и зависят от наблюдателя. Более того, с
математической точки зрения этот принцип наиболее могущественный в том
смысле, что он дает необходимые и достаточные условия, так как это
принцип инвариантности. Мы сформулируем его так.
Принцип объективности. Определяющие уравнения идеального "континуального"
материала должны быть форминва-риантны по отношению к наложению
произвольного движения абсолютно твердого тела. Другими словами, они
должны быть инвариантны по отношению к преобразованиям пространства-
времени вида (2.3.28).
Если мы используем активную точку зрения, описанную в п. 2.3.С, то можем
сказать, что в чистой механике сплошных
§ 2.5. Замыкание системы полевых уравнений
107
сред два динамических процесса {86, t] и {85*, эквивалентны, если они
связаны следующим образом:
SB* (X, О = Q (0 [SB (X, 0 - а] + с (/), f = t- а,
t*(X, n = Q(0t(x, 0Qr(0. ( '
Последнее из этих уравнений означает, что тензор напряжений Коши должен
быть объективным. Как далее будет видно, это накладывает ограничения на
его функциональную зависимость. Легко показать, что требование
форминвариантности по отношению к сдвигу в пространстве, зависящему от
времени и представленному функцией с (if), и сдвигу во времени,
описываемому а, приводит к тому, что определяющие уравнения не зависят
явным образом от координат события (х, t). Это будет справедливо для всех
определяющих уравнений, которые нам встретятся в дальнейшем. Физически
принцип объективности означает: "если два наблюдателя рассматривают одно
и то же перемещение материального тела, то они регистрируют один и тот же
отклик на него, т. е. одинаковое напряженное состояние". Хотя этот
принцип бессознательно используется в повседневной жизни, он несет в себе
глубокое операционное значение (подумайте об определении коэффициента
упругости пружины в двух системах отсчета, вращающихся относительно друг
друга с переменной угловой скоростью; внутренние силы в пружине зависят
только от деформации пружины относительно самой себя и не зависят от
параметров вращения).
Другие принципы, которым должны удовлетворять определяющие уравнения,
самоочевидны.
(a) Термодинамическая допустимость. Формулировка определяющих уравнений
не должна противоречить направлению термодинамической эволюции,
предписываемой вторым законом термодинамики. Этот принцип - один из
основных в термодинамике Колемана, которая будет продемонстрирована на
примере теории термоупругости в § 2.10.
(b) Симметрия материала. Математическая структура определяющих уравнений
должна отражать тип симметрии (изотропность, анизотропность, определенная
'кристаллографическая группа материала) вещества в отсчетной или
некоторой предпочтительной конфигурации, рассматриваемой в качестве
отсчетной. Это условие в дальнейшем будет рассматриваться более подробно.
Здесь же мы только подчеркнем, что исследование симметрии материала с
математической точки зрения состоит в исследовании всевозможных
изоморфизмов "частицы" X на себя, не меняющих форму уравнения для отклика
материала.
108
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
Две материальные "частицы" называются материально-изоморфными друг другу,
если в одном и том же динамическом процессе (например, перемещении или
деформации) они демонстрируют одно и то же поведение в течение всего
времени. Простейший тип материального изоморфизма образуют
пространственные трансляции в ЖR, т. е. преобразования вида Х = Х + В,
где В - постоянный вектор. Однородный материал определяется как материал,
