Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
в процессе движения остается положительным, если оно было таковым
первоначально. Из этого предположения следует, что материальные "частицы"
Р идентифицируемы" что выражает так называемую аксиому непрерывности
классической механики сплошных сред, согласно которой вещество
неразрушимо и непроницаемо. Случай химически реагирующих смесей здесь,
конечно, исключается. Очевидно, что близкие материальные точки в
конфигурации Жр остаются близкими (в топологическом и геометрическом
смысле) в любой последующей конфигурации Xt. Геометрический объект F с
компонентами Хк,к называется прямым градиентом перемещения. В
соответствии с соотношениями (2.2.1) и (2.2.2) для любого фиксированного
t имеем
dx = F dX, или dxk - xk>KdXK, (2.2.5)
dX = F~ldx, или dXK = XKkdxk, (2.2.6)
где тензор F-1, обратный градиенту перемещения, определяется соотношением
F-l = {xKtk = ^-, K,k= 1, 2, з}, (2.2.7)
так что, согласно правилу дифференцирования сложной функции, справедливы
равенства
FF-1 = 1, или xkiKXK>l = 6(2.2.8)
F 'F = Ijj, или XKtkx^L - 6KL. (2.2.9)
Здесь Ьы и 8kl - символы Кронекера в системах координат хи и Хк
соответственно; I и I* - соответствующие единичные диадики.
§ 2.2. Перемещение и деформация сплошной среды 83
Приведем следующие формулы, которые будут далее ис-
пользоваться:
1^ = Хк'1~дТ^' = (2.2.10)
] = ~зр eHk&KLMXi, KXi, Lxk, Af > (2.2.11)
Jrklm - Bijkxi, Kxi, Lxk, Mi (2.2.12)
dJ
= алгеораическое дополнение к элементу
dxi, к
xl,K - ll2siikBKLMxi, Lxk, М - (2.2.13)
Здесь Bijk и erlm - компоненты символов альтернирования в системах
координат Xk и Хк соответственно. В обеих системах координат имеют место
следующие часто используемые алгебраические тождества:
BijkBlpq ^jp^kq ^iq^kpi
&ijkBiji~2bkh (2.2.14)
BijkBijk 0!.
Часто также будет употребляться так называемый символ набла:
v" = {4r; *=|'2'3}' 7 = {^Г: k = U 2'4 (2•2•I5,
А. Конечные деформации
Основная задача теории деформаций - исследовать изменение по величине и
направлению отрезка, связывающего две близкие точки Pi и Р2, в процессе
перемещения тела. Нас интересует изменение бесконечно малого отрезка
между двумя такими точками; такое рассмотрение возможно в соответствии с
предположениями, сделанными относительно преобразований
(2.2.1), (2.2.2). Евклидова геометрия ньютоновского физического
пространства Е3, т. е. евклидова геометрия пространства,
в котором реализуются все конфигурации материального тела, дает следующие
выражения для квадрата бесконечно малого расстояния в конфигурациях Ж r и
Ж соответственно:
dS2 = 6KL dXK dXL = dX ¦ dX, (2.2.16)
ds2 = 6ildxldxi~d\-d\. (2.2.17)
Эти выражения с учетом соотношений (2.2.5) и (2.2.6) можно также записать
в виде
dS2 = ВТ,1 (х, 0 dxt dXj, (2.2.18)
ds2 = CKL(X, t)dXKdXL, (2.2.19)
84 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
где тензоры (индекс Т означает транспонирование)
CKL = *i,K*;,L> т. е. С = FrF, (2.2.20)
B7,l^XK'tXKth т. е. В-1 = (F~')r F~', (2.2.21)
называются тензорами деформации Коши и Грина (или мерами деформации)
соответственно. В некоторых работах В-1 обозначается через с, так что В =
с-1.
Разность (ds2 - dS2) для одних и тех же материальных точек в Жк и Ж
определяет изменение длины отрезка между ними. Эта разность обращается в
нуль для двух близких точек, если деформация не изменила расстояния между
ними. Если эта разность равна нулю для всех пар точек тела, то говорят,,
что тело совершило перемещение как абсолютно твердое тело. Согласно
уравнениям (2.2.16) - (2.2.19), имеем
ds2 - dS2 = 2Ekl (X, t) dXK dXL = 28 u (x, t) dxt dxh (2.2.22) где
тензоры
EKL^k(CKL-bKL), т. e. E = 72(C -I*), (2.2.23)
^г/ = '/2(бг/-ВГ/1), т. e. <r = 72(l-B_1), (2.2.24)
называются лагранжевым и эйлеровым тензорами деформации соответственно.
Очевидно, что
E = Fr<TF, 8 = (F-1)r EF_1. (2.2.25)
Перемещение абсолютно твердого тела соответствует одному из следующих
кинематических условий:
С(Х, f) = I*. В"'(х, 0 = 1, (2.2.26)
выполняющихся для любого t и для всех точек х и X, связан-
ных уравнениями (2.2.1) и (2.2.2). Легко показать, что выражение для
якобиана / имеет вид
/ = (det С)1/2 = (det В_1)_1/2. (2.2.27)
Так как 1 ф 0, то существуют обратные тензоры С-1 и В, такие, что
справедливы равенства
Cli = XK,iXL,i, т. е. (T1 = F-I(F^)r> (2.2.28)
B" = xltKxltK, т. е. В = FFr. (2.2.29)
Разложение на поворот и чистую деформацию
Так как F невырожденно {J ф 0), то теорема, принадлежащая Коши и
называемая теоремой о разложении на поворот и чистую деформацию,
позволяет представить F в следующих
§ 2.2. Перемещение и деформация сплошной среды
85
формах:
F = RU - VR
(2.2.30)
с выполнением условии
U = Ur, \ = \т, RRr = RrR = I. (2.2.31)
Здесь R - ортогональный тензор, a U и V - положительно определенные
симметричные тензоры, определяющиеся однозначно.
Доказательство. Так как тензор С симметричен и положительно определен, то
для любого векторного поля v ф 0 справедливо \г (FrF)v = (Fv)2 > Сф
Следовательно, существует симметричный положительно определенный тензор
