Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
31.2.) Произведя эту замену координат в метрике Шварцшильда (31.1), получаем линейный элемент следующего вида:
ds2 = (32M3Ir) е-'/зм (_rfj,2 + du2) + r2 ^02 + Sin2G d^>2)
(31.14а)
(геометрия Шварцшильда в координатах Крускала — Шекереса). Под г здесь следует понимать функцию от и и у, которая в неявном виде определяется уравнением
(г/2М — 1) егггм = м2 _ v2 (31.146)
[см. соотношения (31.13)].
Дополнение 31.2. ОБОСНОВАНИЕ КООРДИНАТ КРУСКАЛА — ШЕКЕРЕСА 1J А. Координаты Эддингтона — Финкельштейна
Обоснование системы координат Крускала — Шекереса начинается с введения ОТЛИЧНОЙ OT НЄЄ СИСТеМЫ КООрДИнат, впервые построенной ЭДДИНГТОНОМ [37] И.ПОЗД-нее вновь открытой Финкелынтейном [44]. Эддингтон и Финкелынтейн в качестве основы для своей системы координат вместо свободно падающих частиц, как это делал Новиков, используют свободно падающие фотоны. В частности, они вводят координаты U и V, которые служат метками для нулевых геодезических, направленных наружу и внутрь. Эти геодезические определяются уравнением
ds2 ¦= 0 = -(I - 2Af/г) dt2 + (I - 2Mlr)-1 dr2.
Точно так же уходящие на бесконечность геодезические задаются уравнением U =Const, где
U==t — r*, (Ia)
а геодезические, направленные внутрь, задаются уравнением V = const, где
V==t + r*. (16)
Здесь г* — «черепашья координата», приведенная в § 25.5 и на фиг. 25.4:
г* == г + 2M In I г,'2М — I |. (1в)
1O Это дополнение основывается на обзоре Мизнера [19].
§ 31.4. Системы координат, не имеющие особенности 25 |
Сжимающаяся система координат Эддингтона — Финкелынтейна: вместо rut,
в качестве координат приняты г и V
Метрика Шварцшильда превращается в метрику
ds2 = —(1 — 2M/г) dV2 + 2dV dr+ г2 dQ2. (2)
Одна из образующих радиального светового конуса ds2 = 0 определяется уравнением
dV/dr = 0, (За)
ї, P
Сжимающиеся координаты Эддингтона — Финкелынтейна (одна из вращательных степеней свободы не показана, т. е. 0 положено равным я/2). Поверхности постоянного V, будучи нулевыми сжимающимися поверхностями, нанесены под углом наклона 45°, т. е. точно так же, как в плоском пространстве-времени. Равным образом поверхности постоянного t = У — г = t + -+• 2M In I г/2М — I I изображаются горизонтальными линиями.
^ 26 31. Геометрия Шварцшильда
а другая — уравнением
dV 2
dr 1 — 2М/Г- (36)
Исходя из этого и только из этого, можно разобраться во всем том, что изображено на рисунке.
Расширяющаяся система координат Эддингтона — Финкелыитейна: вместо г и t в качестве координат приняты г и U
Метрика Шварцшильда превращается в метрику
ds2 = _(1 _ 2MIr) dU2 - 2dU dr + г2 dQ2. (4)
Расширяющиеся координаты Эддингтона — Финкелынтейна (одна из вращательных степеней свободы не показана). Поверхности постоянного U, будучи нулевыми расширяющимися поверхностями, нанесены иод углом наклона 45° точно так же, как в плоском пространстве-времени.
31.4. Системы координат, не имеющие особенности 27
I
Одна из образующих радиального светового конуса ds2 = 0 определяется уравнением
dU/dr=-0, (5а)
а другая — уравнением
AU 2
dr 1 — 2M/г '
(56)
Исходя из этого и только из этого, можно разобраться во всем том, что изображено на рисунке.
Отметим, что на гравитационном радиусе обе системы координат Эддингтона — Финкелынтейна ведут себя лучше, чем шварцшильдовская система координат; но они не вполне безупречны. Расширяющаяся система координат (U, г, 0, ф) прекрасно описывает выброс частиц наружу из г = 0 за пределы гравитационного радиуса г = 2М, но при описании с помощью этой системы падения частиц под гравитационный радиус возникает такая же сингулярность, что и при использовании шварцшильдовской системы координат (фиг. 31.1). Аналогичным образом, сжимающаяся система координат (F, г, 0, ф) хорошо описывает падение частиц под гравитационный радиус, но эта система не способна описать выходящих на бесконечность траекторий. Более того, сильное различие приведенных выше двух рисунков кажется парадоксальным: на одном из них гравитационный радиус образован из мировых линий выходящих фотонов, в то время как на другом — из мировых линий фотонов, движущихся внутрь! Чтобы разрешить этот парадокс, надо искать более подходящую систему координат. [Замечание. Поскольку сжимающаяся система координат Эддингтона — Финкелынтейна прекрасно описывает падение внутрь, эти координаты широко используются при рассмотрении гравитационного коллапса (гл. 32) и черных дыр (гл. 33 и 34).]
Б. Переход от координат Эддингтона — Финкелынтейна к координатам Крускала — Шекереса
Может быть, мы получим систему координат, обнаруживающую всюду нормальное поведение, если вовсе исключим г, а в качестве двух координат на плоскости радиус—время используем U и V. Полученная в результате система координат связана со шварцшильдовскими координатами соотношениями
V — U = 2г*, (6а)
V + U = 2t; (66)
линейный элемент в этих новых координатах записывается в виде
ds2= ~{i — 2M Ir) dUdV+г2 (dQ2 +Sin2Q dф2). (7)
Вопреки ожиданиям эта система координат имеет сингулярность при г = 2М.
