Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
r/2M = 1 — (т -f- const)/2Af вблизи г — 2М,
rl2M = I + const -exp (—t/2M) в пределе t оо (31-3)
[см. фиг. 25.5]. Наблюдатель живет, конечно, по собственному времени, именно этим временем определяется его пульс. Никакая система координат не может воспрепятствовать ему достичь г = = 2М. Только геометрия пространства-времени, которая не зависит от выбора системы координат, способна была бы помешать этому, но, как видно из уравнений (31.3), не мешает!
Падающий наблюдатель достигает г г= 2 M за конечное собственное время, но за бесконечное координатное время
16 31. Геометрия Шварцшильда
Допустим, что наблюдатель достиг г = 2М. Какая геометрия пространства-времени предстанет перед ним в этом месте? Сингулярная или несингулярная? Другими словами, что измерит наблюдатель — бесконечно большие приливные силы, которые разорвут и сдавят его, когда он достигнет г = 2М, или же он почувствует лишь конечные приливные воздействия, которые его тело
в принципе может выдержать?
Приливные силы, которые испытывает наблюдатель при прохождении данного радиуса г, определяются компонентами тензора кривизны Римана, отнесенными к ортогональной сопутствующей системе отсчета в этом месте (уравнение отклонения геодезических). Проведем вычисление этих компонент кривизны в два этапа.
1. Вычислим компоненты тензора Римана, но не в системе отсчета наблюдателя, а в «статической» ортогональной системе отсчета
1. 2M \ 1Ii . с dr
«‘=(1 — —) М, ©'
(1-2 M/г)1»'
^ * (31
(O6 =rd0, (оф = rsin0d<?,
локализованной в том пространственно-временном событии, через которое проходит наблюдатель; результат [который получается из уравнений (14.50) и (14.51), если положить е2Ф = е~2Л = = 1 — 2Mlr] имеет вид
E_____= ~2М . R- ~ ^ R________________________________ _
(г I г Г з ’ і е t Є I Ф t Ф г3 *
о_____ 2М_ = »_(31'40)
0 ф 0 Ф 7*3’ г 0 г 0 г ф г Ф Г®*
все другие компоненты Rобращаются в нуль, за исключением тех компонент, которые могут быть получены из приведенных выше с помощью свойств симметрии R.
2. Вычислим компоненты в системе отсчета наблюдателя, применяя к компонентам в «статической системе отсчета» (31.46) подходящее преобразование. Для г > 2M таким преобразованием служит лоренцевский буст1) в направлении е~ с трехмерной
скоростью vr\ при г <2ЛГбустне существует, но преобразование дается стандартным выражением для буста (дополнение 2.4), где vr > 1. Здесь
Г _ (grr)1/2 dr drIdt
( — gti)1/2dt ’ І — 2М/Г
Поразительный результат (являющийся следствием специальных алгебраических свойств геометрии Шварцшильда и в чем-то схожий с тем, что происходит или, лучше сказать, не происходит
Cm. примечание в т. 1, стр. 106.— Прим. перев.
§ 31.2. Отсутствие сингулярности на гравитационном радиусе 17
I
с компонентами электромагнитного поля E и В, когда они одновременно параллельны бусту) состоит в следующем: все компоненты R при действии на них буста остаются неизменными. Если е~ —радиальный базисный вектор наблюдателя, а е^ = и — его временной базисный вектор, то
fl_„ = _2Mjr3, R?s ~s = = М/г3,
TpTp ' ’ Т0Т0 тфтф ' ’
ReZeX =2М/г3, R-R-S =R~27,2= -М/г3
0Ф0Ф ' ’ рОрв РФРФ
(31.6)
(см. упражнение 31.1).
Из этого вычисления следует, что, согласно выражениям (31.6), ни одна из компонент R в ортогональной системе отсчета наблюдателя не обращается на гравитационном радиусе в бесконечность. Приливные силы, которые испытывает путешественник по мере приближения кг = 2М, остаются конечными; они не разорвут путешественника на части — по крайней мере в том случае, когда масса M достаточно велика, поскольку при г = 2M типичная ненулевая компонента R- ^ тензора кривизны имеет величину порядка 1/М2. Гравитационный радиус является областью про-странства-времени с вполне нормальным поведением, не обладающей сингулярностью, и ничто не может в этой области помешать наблюдателю падать далее внутрь.
Ho глубоко внутри, под гравитационным радиусом, наблюдатель встретит бесконечные приливные силы, причем это произойдет независимо от пути, по которому он туда попал. В этом смысле говорят, что «г = 0 является физической сингулярностью про-странства-времени». Чтобы убедиться в этом, необходимо вычислить, пользуясь (31.46) и (31.6), «инвариант кривизны»
/ = 48А/2/г«. (31.7)
В любой локально лоренцевой системе отсчета этот инвариант является суммой произведений компонент тензора кривизны и имеет одно и то же значение 48M2Ir6. Таким образом, в любой локально лоренцевой системе отсчета, включая систему отсчета наблюдателя, R имеет одну или несколько компонент, которые обращаются в бесконечность при г —>-0; это и означает, что приливные силы становятся бесконечными.
31.1. Приливные силы, действующие на свободно падающего наблюдателя
а. Проведите во всех деталях вывод компонент тензора Ри-
мана (31.6).
б. Дайте грубую оценку критической массы Мкр, такой, что при Mkp тело наблюдателя (человеческое тело, состоящее из обыкновенных костей и обыкновенной плоти) может выдержать при-
2—018
