Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
= 2 M при t -
г — О при t = (событие F" на фигуре).
, I гмакс \
г \ SM ) щ, с умены
+2"Ч^вМ‘,!(
arc cos I
Ш
-1
1-
8-^ I \ гмакс
(событие F' на фигуре); и, наконец, с уменьшением t (но, конечно, по-прежнему с ростом х) геодезическая падает внутрь до
^/2 / Гмякл . . \ Я / гыяио. \ */2
гмакс
Ш
+ 1),
j "Г гмакс (
{нему
. я I гмакс \1 + 2 \ 2М )
2M \Vz гмакс /
I
22 31. Геометрия Шварцшильда
Координаты
•Новикова:
1) как они строятся
U) линейный алеиент
в одну точку на той же плоскости (r1IOl!, ?Нов)- Читатель вполне подготовлен к восприятию этого интуитивного заключения и к использованию его в работе, так как уже было показано [уравнение (31.8)], что область, покрывающая 2-сферу (0, ф) при г = 2M и простирающаяся от t = — оо до ? = + оо, имеет собственный объем, равный нулю. Можно ли желать более явного указания на то, что «линия» г = 2М, —оо <; t <оо, на самом деле является точкой?
§ 31.4. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ,
HE ИМЕЮЩИЕ ОСОБЕННОСТИ
Из всех систем координат, не имеющих координатной сингулярности, наиболее наглядной является система, относительно которой пробные частицы, движущиеся радиально, согласно уравнениям (31.10), всегда находятся в состоянии покоя («сопутствующие координаты»). Впервые такие координаты использовал Новиков [43]. Каждой пробной частице, вылетающей из сингулярности при г = 0, где действуют бесконечные приливные силы, Новиков приписывает в своей системе координат специальное значение радиальной координаты R* и требует, чтобы это значение R* сохранялось на протяжении всей «циклоидальной жизни» частицы: частица движется вверх, пересекает г = 2М, достигает г = гмакс, затем вновь падает вниз, пересекает г = 2M и достигает г = 0. Для определенности Новиков выражает значение R*, связанное с каждой частицей, через значение радиуса в наивысшей точке траектории этой частицы, используя формулу
R* = (Гманс/Ш - I)1'2. (31.11)
В качестве временной координаты Новиков использует собственное время пробной частицы т, причем за начало отсчета т = 0 принимается та же наивысшая точка траектории. Каждая частица выбрасывается из сингулярности таким образом, чтобы она достигла вершины своей траектории (г — гмакс, т = 0) в тот же момент шварцшильдовского координатного времени, что и все остальные частицы, а именно в момент t = 0.
Хотя координаты Новикова в принципе просты, по преобразование, которое связывает их с первоначальными тиварцшиль-довскими координатами, является весьма сложным. Проводя это преобразование, нужно 1) объединить уравнения (31.106) и (31.11) для получения г] (т, R*), 2) объединить і] (т, R*) с (31.10а) и (31.11) для получения г (т, R*) и, наконец, 3) объединить т] (т, R*) с (31.10в) и (31.11) для получения t (т, R*). Окончательное координатное преобразование метрики Шварцшильда (31.1) приводит к линейному элементу вида
*2= _йт2 + (_^_)2йд*г + га (d02 +Sin20dfp2) (31.12а)
§ 31.4. Системи координат, не имеющие особенности 23
ФИГ. 31.2.
Система координат Новикова для пространства-времени Шварцшильда (схематическое изображение). Пунктирные кривые являются кривыми постоянного радиуса г (Алг2 — площадь поверхности вокруг центра симметрии). Заштрихованная область не является частью пространства-времени; она соответствует г < 0, т. е. недостижима из-за сингулярности про-странства-времени при г = 0. Заметим, что «линия» (г = 2М, —оо < t < + оо) на шварцшильдовской координатной диаграмме (фиг. 31.1) сжалась здесь в точку (см. конец § 31.3).
і
{геометрия Шварцшильда в координатах Новикова). Здесь г уже не является радиальной координатой; теперь это метрическая функция г (т, R*), заданная в неявном виде уравнением
. т ¦¦ = + (Д*2 + I) I —___(ГІ2М)2 11/2 +
2M ^ >[_2М R*2-ь1 J ^
+ (д « + if2 arc cos [ ( -^v)1/2] . (31.126)
На фиг. 31.2 показано положение некоторых основных областей шварцшильдовской геометрии пространства-времени в этой системе координат. В § 31.5 рассматривается существование двух отдельных областей с г = О (сингулярностей) и двух отдельных областей с г -)-оо (асимптотически плоских областей; напомним, что 4лг2 — площадь сферы!).
Хотя сама концепция системы координат Новикова очень проста, математические выражения для метрических компонент в этой системе довольно громоздки. Более простые выражения, которые легче использовать, были получены в иной системе координат (в «координатах Крускала — Шекереса»), предложенной Kpyc-калом [41] и независимо от него Шекересом [42].
Крускал и Шекерес используют безразмерную радиальную координаты координату и и безразмерную временную координату v; эти коор- шекереса —
I 24 31. Геометрия Шварцшильда
динаты следующим образом связаны со шварцишльдовскими координатами rut:
и = (r/2Af — l) 1/:V/4M Ch ШАМ) I
1; , > при г>2М, (31.13а)
V = (r/2M— 1) ег!ш sh (t/AM) J V ’
и = ( I — r/2A/)v2 е>-/4л/ sh (Ї/4М) 1
і, f при г<2М. (31.136)
V = (X-TllM)12ег/ш ch (t/AM) J v
(Обоснование выбора подобных координат дано в дополнении
