Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые исследователи предлагали модифицировать топологию геометрии Шварцшильда, чтобы исключить сингулярности при г = 0 и «двойную вселенную», присущую этой геометрии. Одно из подобных предложений состоит в следующем: более ранняя и более поздняя сингулярности отождествляются друг с другом, так что частица, падающая в сингулярность, принадлежащую области II, вместо того чтобы быть уничтоженной, внезапно вновь появляется, выброшенная из сингулярности, принадлежащей области IV. Эта точка зрения встречается с серьезным возражением: область г = 0 является физической сингулярностью, в которой действуют бесконечные приливные силы и в которой рима-нова кривизна бесконечна. Любая частица, падающая в такую сингулярность, должна быть разрушена этими силами. Всякая попытка экстраполировать судьбу такой частицы после прохождения сингулярности с помощью уравнений Эйнштейна должна потерпеть неудачу: уравнения теряют силу, сталкиваясь с бесконечной кривизной. Следовательно, постулировать, что частица вновь возникает в более поздней сингулярности, означает выдумывать специальное математическое правило, не имеющее отношения к физике. Едва ли можно поверить в справедливость того, что какое-либо тело конечной массы изменит геометрию сингулярности при достижении г = 0 до такой степени, что это тело сможет пройти через сингулярность и вновь появиться, хотя сама по себе такая возможность ничему не противоречит. Как бы то ни было, ответ на вопрос, является ли подобная спекуляция корректной, должен быть дан не в виде специально придуманных правил, а путем конкретных трудоемких вычислений в рамках общей теории относительности (см. гл. 34).
Второе предложение относительно модификации топологии геометрии Шварцшильда состоит в следующем. Мы исключим существование двух различных асимптотически плоских вселенных, если в системе координат Крускала — Шекереса отождествим каждую точку (и, и, 0, ф) с противоположной ей точкой (—и, —и,
0, ф). Против этого предложения имеются два возражения.
1. Такая процедура приводит к своего рода «конической» сингулярности (отсутствию локально лоренцевой системы отсчета) при (:V, и) = (0, 0), т. е. на перешейке моста в момент максимального расширения. 2. Она вызывает нарушение причинности, которое проявляется, например, в том, что человек может встретить самого себя, движущегося в обратном направлении во времени.
Чтобы лучше познакомиться с основными чертами геометрии Шварцшильда, читателю следует прочесть снова внимательно § 31.1—31.4, истолковывая все сказанное там с помощью диаграммы Крускала — Шекереса.
§ 31.6. Динамика геометрии Шварцшильда 39
I
31.7. Метрика Шварцшильда в изотропных координатах
а. Покажите, что переписанная в изотропных координатах, приведенных в упражнении 23.1, метрика Шварцшильда имеет вид
ds2 = -( l~MI2r_ dt2 +
' l + M/2r I
+ (1 + 4 [dr2 + г2 (dQ2 + sin2 Є d<f,2)], (Зі.22)
и выведите преобразование
г = г(1 + МПг)2 (31.23)
между двумя радиальными координатами.
б. Какие области пространства-времени (I, II, III, IV, см.
фиг. 31.3) покрываются изотропной системой координат, а какие
нет?
в. Рассчитайте и постройте диаграмму погружения для пространственноподобной гиперповерхности 3 = 0, 0 <7- < оо.
г. Найдите преобразование координат, которое меняет местами области вблизи г = 0 и г = оо, оставляя при этом метрические коэффициенты в первоначальной форме.
31.8. Геометрия Рейснера — Нордстрема
а. Решите эйнштейновские уравнения поля для сферически симметричного статического гравитационного поля
ds2 = - е2фМ dt2 + е2Л« dr2 + г2 (dQ2 + sin2 0 4ф2)\
в том случае, когда вещество отсутствует, но имеется радиальное электрическое поле B=O, і? = /(г)е~, в статической ортогональной системе координат
(і)? = ефіІг, e)r=eAd г,
0) 0 = г do, ю* = г sin 0 d^.
В качестве источника в эйнштейновских уравнениях поля используйте тензор энергии-импульса электрического поля. (Ответ:
JE = (QIr2)B(31.24а)
&=-(l-2L + %.)&+(!-*?-+%.)&* +
+ Г2 (dQ2 + sin2 Qdf2). (31.246)
Это так называемая «метрика Рейснера [46] — Нордстрема [47]».)
б. Покажите, что константа Q является полным зарядом, измеряемым удаленным наблюдателем (г 2М и г Q), причем
УПРАЖНЕНИЯ
I
УПРАЖНЕНИЯ
40 31. Геометрия Шварцшильда
этот наблюдатель использует гауссов интеграл для потока или изучает орбиты пробных зарядов, для которых отношение заряда к массе’е/ц. Э" MIQ, т. е. кулоновские силы преобладают. Каково отношение заряда к массе для электрона в безразмерных единицах? Покажите, что константа M является полной массой, измеряемой удаленным наблюдателем, который использует для ее измерения кеплеровские орбиты электрически нейтральных частиц.
в. Покажите, что если Q > М, то поведение системы координат Рейснера — Нордстрема вполне нормально во всей области от г = оо до г = 0, где имеется физическая сингулярность и действуют бесконечные приливные силы.
г. Исследуйте свойства геометрии пространства-времени для случая Q <1М, используя все методы, изложенные в этой главе (преобразование координат, координаты, подобные крускалов-ским, исследование орбит частиц, диаграммы погружения и т. д.). (Решение-, см. [48], а также фиг. 34.4.)
