Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что характерное время, за которое светимость уменьшается, а красное смещение увеличивается в е раз, весьма мало:
тхар = 2M w 1 • IO-5 (М/Mq) с =
(32.7)
/время, за которое свет в плоском пространстве \
— \проходит расстояние, равное гравитационному радиусу/1
Здесь Mq обозначает массу Солнца.
32.2. Красное смещение в ходе коллапса
а. Пусть радиопередатчик, расположенный на поверхности коллапсирующей звезды, испускает монохроматические волны с длиной волны А,исп и пусть удаленный наблюдатель, имеющий те же, что и передатчик, угловые координаты 0и ф, принимает эти волны. Покажите, что при больших значениях времени принимаемая длина волны изменяется по закону
^принДисп ~ е</4м (32.8а)
[уравнение (32.6)], где t — собственное время удаленного наблюдателя.
§ 32.3. Внешняя геометрия коллапсирующей звезды 51
2
Остальная часть этой главы относится к курсу 2. Для ее изучения не требуется знакомство с материалом, изложенным до сих пор в курсе 2, но сама эта часть необходима как подготовительный материал для изучения 1) той части гл. 33 (черные дыры), которая относится к курсу 2, и 2) гл. 34 (сингулярности и глобальные методы)
б. Используя кинетическую теорию для выходящих фотонов (закон сохранения плотности в фазовом пространстве, т. е. теорему Лиувилля, § 22.6), покажите, что поток энергии принимаемого излучения [эрг/(см2 -с)] изменяется по закону
(32.86)
в. Предположим, что ядерные реакции в центре звезды порождают нейтрино с энергией Evicn и эти нейтрино свободно летят наружу (поглощение нейтрино в звезде пренебрежимо мало). Покажите, что энергия каждого нейтрино, принимаемого удаленным наблюдателем, уменьшается при больших временах по закону
•^прин/^исп ~
е-^м. (32.9а)
г. Покажите, что поток энергии нейтрино уменьшается при больших временах как
F ~е-Ч2М. (32.96)
д. Объясните с помощью элементарных соображений, почему законы убывания для энергии (32.8а) и (32.9а) одинаковы, а законы убывания для потоков энергии (32.86) и (32.96) отличаются друг от друга.
е. Пусть коллапсирующая звезда испускает фотоны Co своей поверхности с той же скоростью, что и черное тело:
с inn Фотон \ ( ПЛ0ЩадЬ \ /температурах3
-JT= ( ¦10 Ж КЗ") х поверхности X (поверїносУ •
у звезды J
Пусть удаленный наблюдатель подсчитывает фотоны, проходящие через сферу радиуса г М, на которой он расположен. Пусть он начал свой подсчет в тот момент, когда увидел (посредством распространяющихся наружу по радиусу фотонов), что центр поверхности звезды проходит через радиус г = З М. Покажите, что время, которое должны ждать наблюдатель и его коллеги, чтобы последний из всех когда-либо вышедших наружу фотонов достиг их, по порядку величины равно
t = (М/Мэ) 18 • IO-4 + 5 ¦ IO-5 Ig (TilMZMe)] с, (32.9в) где T11 — температура поверхности звезды в единицах IO11 К.
УПРАЖНЕНИЕ
4*
2
52 32т Г равитационный коллапс
Коллапс однородного «пылевого шара» из состояния покоя:
1) мировая линия поверхности шара во внешней системе координат Шварцшильда
§ 32.4. КОЛЛАПС ЗВЕЗДЫ С ОДНОРОДНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ И РАВНЫМ НУЛЮ ДАВЛЕНИЕМ
Если мы обратим внимание на внешнюю область коллапсирующей звезды и на точную мировую линию, которой следует ее поверхность в геометрии Шварцшильда, то сразу столкнемся с довольно сложной математикой. Самым простым для рассмотрения случаем является «звезда» с однородной плотностью и равным нулю давлением; в самом деле, только этот случай в настоящее время рассмотрен до конца. Первоначальное и вполне законченное исследование коллапса такого однородного «пылевого шара» изложено в классической работе Оппенгеймера и Снайдера [55]. Позднее другие исследователи возвращались к этой проблеме с несколько иных точек зрения, используя иные системы координат. Подход, изложенный здесь, разработан Беккедорфом и Мизнером [591.
Поскольку нет градиентов давления, которые могли бы отклонять движение частиц, расположенных на поверхности пылевого шара, они должны двигаться вдоль радиальных геодезических во внешней геометрии Шварцшильда. Если шар начинает сжиматься из состояния покоя с конечным радиусом R = Ri в момент времени t = 0, то последующее движение его поверхности описывается уравнениями (31.10):
R = (Rtl2) (I + cos її), (32.10а)
t = 2М In
(fli/2M-l)1^-tg(.1/2)
+ 2M (Ri/2М — 1)1/2 [г] + (RiIAM) (»] + sin т))]. (32.106)
Здесь R — шварцшильдовская радиальная координата (т. е. 4зті?2 — площадь поверхности звезды) в момент шварцшильдов-ского времени t. Эта мировая линия изображена на фиг. 32.1 для Ri = IOikT в шварцшильдовских координатах, в координатах Крускала — Шекереса и в координатах Эддингтона — Финкель-штейна. Собственное время, которое показывают часы на поверхности коллапсирующей звезды, дается выражением (31.106):
T = (RVSM)1/« (т) + sin т)). (32.10в)
Заметим, что коллапс начинается, когда параметр г] равен нулю (R = Ri, t — т = 0), и заканчивается в сингулярности (R = 0, т] = я). При этом длительность всего коллапса, измеренная по часам, установленным на любой из пробных частиц, падающих вместе с пылью, определяется интервалом собственного времени
