Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7.5. ЛОКАЛЬНО ПЛОСКОЕ, ГЛОБАЛЬНО ИСКРИВЛЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
Принцип эквивалентности помогает понять природу кривизны пространства-времени, существование которой вытекает из доводов Шилда. В ускоренной системе физика явлений точно такая же, как и в лаборатории, связанной с поверхностью Земли. Таким образом, связанную с Землей лабораторию можно считать ускоряющейся вверх с ускорением g по отношению к лоренцевым системам в ее окрестности *). Аналогично все лоренцевы системы
!) Направленное вверх ускорение лаборатории в совокупности с уравнением (6.18) для линейного элемента в ускоренной системе координат объясняет неравенство нижнего и верхнего ребер, параллелограмма на фиг. 7.1.
§ 7.5. Локально плоское, глобально искривленное простр.-время 241
2
должны ускоряться вниз по отношению к лаборатории и поверхности Земли. Ho направления вниз (по радиусу) различны для разных значений широты и долготы. Следовательно, локальные лоренцевы системы, первоначально покоившиеся по отношению друг к другу по разные стороны Земли, впоследствии падают по направлению к центру и движутся, пересекая друг друга. Ясно, что их нельзя «сшить» в единую глобальную лоренцеву систему, связанную с Землей, как это предполагалось в рассуждениях Шилда. Подобно невозможности сшить локальные декартовы координаты на искривленной 2-поверхности, невозможность сшить локальные лоренцевы системы есть очевидное проявление кривизны пространства-времени.
С подобными же проблемами сталкиваются географы при составлении карты земной поверхности. На участках небольшой площади (в пределах города или района) можно без всяких осложнений использовать обычную прямоугольную систему координат. Однако, если имеются карты двух довольно протяженных областей, на каждой из которых одна из осей указывает на север, то мы обнаруживаем, что края карт совпадают друг с другом наилучшим образом тогда, когда мы совмещаем их под небольшим углом друг к другу (пространственно-временной аналог: относительная скорость двух локальных лоренцевых систем, пересекающихся в центре Земли). Гораздо легче начать с картины сферического глобуса, и уж затем говорить о том, как небольшие плоские карты могут быть использованы в качестве хорошей аппроксимации для отдельных его частей, чем начать с огромного скопления небольших карт и пытаться соединить их в единую карту глобуса. Поэтому в данной книге при изложении геометрии пространства-времени используется первый подход. Теперь, когда читатель видит, что проблема состоит в том, чтобы объединить локальпые описания физических явлений в плоском пространстве-времени во всеобщую картину мира, он может в следующей главе перейти к общему изучению геометрии. С этой более удобной точки зрения можно затем рассмотреть проблему взаимосвязи локальных инерциальных систем координат, соответствующих двум близким областям со слегка различными гравитационными полями.
Фактически геометрия входит в общую теорию относительности двумя различными путями. Один из них — геометрия длин и углов в четырехмерном пространстве-времени, унаследованная от метрической структуры ds2 специальной теории относительности. Уже доводы Шилда показывают (не обращаясь непосредственно к принципу эквивалентности), что представления о длинах и углах специальной теории относительности нуждаются в модификации. Такая модификация метрической структуры приводит к римановой геометрии, которая рассматривается в главах 8 и 13. Однако геометрия входит в общую теорию относительности и благодаря принципу эквивалентности. Принцип эквива-
Принцип эквивалентности приводит R тому, что локальные лоренцевы системы у Земли не могут быть сшиты (кривизна пространства-времени! )
Невозможность
сшить локальные
лоренцевы
системы
побуждает
R изучению
геометрии
Два типа геометрии, связанной с пространством -временем
Риманова геометрия (длины н углы)
16-01457
2
242 Несовместимость теории тяготения и СТО
Аффинная геометрия ( «прямые линии» и кривизна)
лентности может быть сформулирован уже в ньютоновской теории тяготения, где нет понятия метрики пространства-времени, а есть лишь эвклидова метрическая структура трехмерного пространства. Основанный на принципе эквивалентности подход к ньютоновской теории также требует, чтобы локальная система отсчета была связана с частицами в состоянии свободного падения. Это требование побуждает нас изучать геометрию пространства-времени, в которой искривленные мировые линии свободно падающих частиц по определению являются локально прямыми. В геометрии искривленного пространства-времени они играют ту же роль, какую прямые линии играют в плоском пространстве-времени. Изучению этой «аффинной геометрии» посвящены главы 10—12. Аффинная геометрия позволяет количественно сформулировать такие понятия, как «ковариантная производная», «кривизна» и даже «кривизна ньютоновского пространства-времени»!
ЧАСТЬ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИСКРИВЛЕННОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
В которой читатель, не устояв против обаяния новой искусительницы — Современной Дифференциальной Геометрии, — принимает решение: продлить знакомство с ней на восемь глав либо, утолив жажду, ускользнуть после первой же
