Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Ни одна на простых модификаций не является удовлетворительной
Наилучшая
модификация
(тензорная
теория
в плоском
пространстве)
внутренне
противоречива;
если ее
исправить,
то получится
общая теория
относительности
УПРАЖНЕНИЯ
15-01457
2
226 7. Несовместимость теории тяготения и СТО
УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Скалярное гравитационное поле Ф
А. Рассмотрите вариационный принцип б/ = 0, где
7--“ <7-3> Здесь т — масса покоя, a Za (X) — параметрическое задание мировой линии пробной частицы в скалярном гравитационном поле Ф. Варьируя мировую линию частицы, выведите дифференциальные уравнения, описывающие движение этой частицы. Запишите их, используя в качестве параметра для траектории собственное время частицы
J ( dza dz& \*/г
( ~ rIa^lor ~Ж~ I dX'
так что иа = dzaldx удовлетворяет условию u“uPr)ap = — 1.
В. Получите уравнение поля для Ф (х), вытекающее из вариационного принципа б/ — 0, где I--^X dix, а
х = —SSTJтеФ64 lx “z (x)1 dx' (7-4>
Покажите, что второй член здесь приводит к тому же интегралу, который фигурирует в пункте А [уравнение (7.3)].
Обсуждение. Полученные уравнения поля описывают генерацию скалярного поля одиночной частицей массы т. Если имеется много частиц, то для каждой из них надо включить в X член
— j тефб4 [х — Z (т)1 dx.
В. Решите уравнение поля пункта Б в предположении, что источником является лишь одна покоящаяся частица. Предположите также, что равенство еф = 1 является хорошим приближением в окрестности частицы. Используя полученное решение, проверьте это предположение, т. е. найдите из вашего решения значение еф на поверхности Земли. (Везде используется система единиц, в которой с = 1; при желании можно положить также G = 1.)
Г. Рассмотрите теперь статическое, сферически симметричное поле Ф, полученное в пункте В, как поле Солнца, которое является заданным внешним полем в вариационном принципе пункта А, и изучите движение планеты, определяемое этим вариационным принципом. Интегралы движения определяются из сферической симметрии и независимости от времени подынтегрального выражения. Используйте сферические координаты и считайте, что движение происходит в одной плоскости. Выведите формулу для прецессии перигелия планеты.
§ 7.1. Попытки объединить теорию тяготения и СТО 227
2
Д. В уравнениях движения пункта А перейдите к пределу частицы с нулевой массой покоя. Для этого используйте параметр К, отличный от собственного времени и выбранный таким образом, что = djc^/dk есть вектор энергии-импульса, и перейдите к пределу т 0, оставляя величину k0 = ут — E конечной (тогда и0 = у —>- оо). Исходя из полученных уравнений, покажите, что величины q*1 ----- к^еф являются интегралами движения, откуда сделайте вывод, что в данной скалярной теории луч света не отклоняется полем тяготения Солнца.
7.2. Векторное гравитационное поле Фц
А. Убедитесь, что вариационный принцип б/ - 0 приводит к уравнениям Максвелла при варьировании A11 и к выражению для силы Лоренца при варьировании 2^ (т), если
(7.5)
Здесь Fuv — сокращенное обозначение для А ,.,ц — Alltr. Указание. Чтобы проварьировать ^11(X), перепишите последний член в виде интеграла по пространству-времени, введя для этого дельтафункцию б4 [х — Z (т)1 подобно тому, как это сделано в пунктах А и Б упражнения 7.1.
Б. Аналогично предыдущему дайте определение векторного гравитационного поля Ф^ с Giiv = Фу, ц— Фи, используя вариационный принцип, где
/= +ТбЫ + ^-^dx+m^^dx.
(7.6)
Примечание: Если имеется много частиц, то для каждой частицы нужно добавить к I члены вида у т j (dz^/dx) (dzjdx) dx +
+ m J Фц (dz^/dx) dx.] Получите выражение для «закона Кулона» в этой теории и убедитесь, что коэффициенты перед слагаемыми в вариационном принципе выбраны правильно.
В. Рассчитайте прецессию перигелия в этой теории.
Г. Рассчитайте для этой теории отклонение луча света (т. е. рассеяние ультрарелятивистской частицы и0 — у оо) при прохождении его около Солнца, обусловленное полем тяготения Солнца Ф^.
Д. Получите выражение для полной энергии поля, которая соответствует лагранжиану, введенному неявно в пункте Б. Используйте обычную для гамильтоновой механики процедуру,
15*
УПРАЖНЕНИЯ
2
УПРАЖНЕНИЯ
228 7. Несовместимость теории тяготения и СТО
когда
/поля =j GtivG^diX = j
X — плотность функции Лагранжа, Lsj OtcPx — функция
Лагранжа. Соответствующая плотность функции Гамильтона (плотность энергии) имеет вид
*“2«к..-гсг-*-№
Покажите, что волны векторного гравитационного поля переносят отрицательную энергию.
7.3. Симметричное тензорное гравитационное поле Ttliv = hvц
В этом случае, как и в случае векторного поля, принцип наименьшего действия записывается в виде 6/ = 0, где / = Inom -J- /частицы -J-
¦f /взаимодействия* Здесь /частицы ИМЄЄТ ТОТ Ж6 ВИД, ЧТО И В случае
векторного поля:
/частицы — ~2т I (7-7)
HO /поля И /взаимодействия УЖ6 ДруГИб:
/поля j XfdiX, (7.8а)
Xf = -3=?- (4 ftVP. “ -V’ р) (7.86)
(одно fe здесь не есть h), где
