Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: ОБЩИЙ ОБЗОР
I
Я все более и более прихожу к убеждению,
что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере ни с помощью, ни для человеческого разума.
... геометрию следует сравнивать не с арифметикой, которая чисто априорна, а с механикой.
Мы должны смиренно признать, что если число есть продукт одного только разума, то пространство обладает реальностью, выходящей за пределы разума, законы которой нам в полной мере не известны.
КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС
§ 8.1. КРАТКИЙ ОБЗОР ЧАСТИ ІП
Тяготение есть проявление кривизны пространства-времени, а о кривизне мы узнаем по отклонению одной геодезической от другой близкой геодезической («относительное ускорение пробных частиц»). Основной вопрос, которому посвящена данная часть книги, ясен: Каким образом можно количественно описать «разделение», а также «скорость изменения разделения» двух «геодезических» в тскрив-ленномь пространстве-времени? Ясный и точный ответ требует введения новых понятий.
Под «разделением» геодезических будет подразумеваться «вектор». Ho понятие вектора, употребляемое в плоском лоренцевом пространстве-времени (билокальный объект: точка острия и точка основания), при переходе к искривленному пространству-времени должно быть усовершенствовано и превращено в локальное понятие касательного вектора. Это сделано в гл. 9, где выясняется также, какое влияние переход к искривленному пространству-времени оказывает на 1-формы и тензоры.
Чтобы строго определить «разделение» как вектор, нужны одни математические средства (векторы в криволинейной геометрии, гл. 9), чтобы сравнивать разделяющие векторы в соседних точках и дать определение «скорости изменения разделения», нужны другие средства (параллельный перенос в искривленном пространстве-времени; гл. 10). Если нет переноса, то невозможно сравнивать; если нельзя сравнивать, то выражение «скорость изменения» теряет смысл! Представление о параллельном переносе наиболее четко выражается в понятии геодезической — мировой линии свободно падающей частицы. Особые математические
Понятая, научаемые в части III:
Касательный
вектор
Геодезическая
246 &• Дифференциальная геометрия: общий обзор
Ковариантная
производная
Отклонение
геодезических
Кривизна
пространства-
времени
Данная глава: обзор
дифференциальной геометрии, относящийся к курсу 1
свойства геодезических исследуются в гл. 10. В этой главе геодезические используются для определения параллельного переноса, параллельный перенос используется для определения ковариант-ной производной, а ковариантная производная, замыкая круг, используется для описания геодезических.
В гл. 11 рассматривается основной вопрос — отклонение гео дезических («скорость изменения разделяющего вектора между двумя геодезическими») и его роль в определении кривизны пространства-времени.
Ho недостаточно дать определение кривизны. Тот, кто хочет глубоко проникнуть в суть гравитации, должен также увидеть кривизну в действии, как она приводит к относительным ускорениям частиц в ньютоновском пространстве времени (гл. 12); он должен понять, как в эйнштейновском пространстве-времени расстояния (метрика) полностью определяют кривизну и закон параллельного переноса (гл. 13); он должен овладеть мощным аппаратом, созданным для вычисления кривизны (гл. 14); он должен уловить геометрический смысл алгебраической и дифференциальной симметрии кривизны (гл. 15).
К сожалению, для достижения такого глубокого понимания требуется время, гораздо большее, чем то, которым можно располагать в пределах десяти- или пятнадцатинедельного курса; гораздо большее, чем желал бы потратить читатель, изучающий предмет самостоятельно, при первом чтении книги. Для тех, кто не имеет времени, в данной главе дан обзор основных математических средств, относящийся к курсу 1 (§§ 8.4—8.7). Он дает возможность правильно, но не очень глубоко понять кривизну пространства-времени, приливные гравитационные силы и математический аппарат искривленного пространства-времени. Этот обзор предназначен также и для читателя курса 2: он позволит ему составить представление о том, что излагается в последующих главах. У читателя с повышенными запросами может также возникнуть желание обратиться к другим начальным пособиям по дифференциальной геометрии (см. дополнение 8.1).
Дополнение 8.1. КНИГИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ *)
Имеется несколько математических пособий, к которым можно обратиться для более подробного и исчерпывающего изучения современной дифференциальной геометрии в том духе, в котором она излагается здесь. В качестве первого укажем [131]. Из двух современных стандартных учебников [15, 132] первый можно рекомендовать для аспирантов, а второй — для студентов, причем во втором рассматривается большинство тех же разделов, но не предполагается, что читатель
1J Советским читателям можно рекомендовать доступную монографию П. К. Рашевского «Риманова геометрия и тензорный анализ» (изд-во «Наука», 1967 г.), предназначенную для изучающих специальную н общую теории относительности.— Прим. перев.
