Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
9.13, 10.16 и 11.12 в этой книге), в теории и при решении уравнений в частных производных (см., например, [140]) и, конечно, в теории тяготения.
§ 8.3. ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ АСПЕКТАХ: НА ЧЕРТЕЖАХ, В АБСТРАКТНОЙ ФОРМЕ, В КОМПОНЕНТНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
Ознакомление с § 8.4 и гл. 9 позволит приобрести навык в обращении с касательными векторами, 1-формами, тензорами в искривленном пространстве-времени; ознакомление с § 8.5 и гл. 10-навык в использовании параллельного переноса векторов, дифференцировании векторов и в обращении с геодезическими; в § 8.7 и гл. 11 эти навыки будут использованы при рассмотрении
§ 8.3. Геометрия в трех аспектах 249
I
отклонения геодезических, при определении крививны;... . Однако эти навыки станут по-настоящему прочными лишь тогда, когда читатель сможет с одинаковым успехом пользоваться тремя различными представлениями: наглядным представлением (на чертежах), абстрактными обозначениями и компонентными обозначениями (дополнение 8.3). Картан (дополнение 8.2) сформулировал новый взгляд на ньютоновскую теорию тяготения (гл. 12) и на принципиальную геометрическую простоту эйнштейновских уравнений поля (гл. 15) лишь благодаря тому, что он с одинаковым мастерством оперировал в дифференциальной геометрии всеми тремя методами. В наши дни свободное общение с коллегами в этой области обязательно подразумевает умение выражаться на всех трех языках. Этим объясняется и взаимосвязь трех форм выражения в последующей части изложения.
Как показывает приводимый в учебниках анализ скорости и ускорения планеты, совершающей кеплеровское движение вокруг Солнца, переход с одного языка на другой и обратно
далеко не нов. Скорость планеты записывается в виде
v = vref-{-v*ef, (8.1)
е- и е j — единичные векторы. Ускорение равно
dv dv* , dv* , -deT , $de$ /0 o\
•—5—S-'f+TT*»+1’ Tr+" TT- <8'2>
Единичные векторы поворачиваются (фиг. 8.1) с угловой скоростью о = йф/dt, откуда
de <8-3>
ae$ dip
Таким образом, компоненты ускорения имеют значения
.•'-ті—<8А> •*-т-+*т?-*Нг)+#т- (8'46)
Здесь ускорение представлено в компонентных обозначениях, через а ускорение было обозначено на абстрактном языке, а на фиг. 8.1 ускорение обозначено стрелкой. В следующих параграфах и главах каждый из этих трех способов выражения получит естественное обобщение из двумерного плоского пространства
Геометрня с трех точек 8рения: на чертежах, в абстрактной форме»
в компонентных обозначениях
Орбита їлаїті как пример VpflflB
точек зрения
250 8. Дифференциальная геометрия: общий обаор
ФИГ. 8.1.
Кеплеровская орбита в поле тяготения Солнца, изучаемая в рамках обычной ньютоновской теории тяготения в эвклидовом пространстве. Базисные векторы на орбите меняются от точки к точке [уравнения (8.3)]. Эта фигура служит иллюстрацией для дифференциальной геометрии в наглядном представлении — на чертежах и рисунках. Ниже (упражнение 8.5) она послужит иллюстрацией для понятий «ковариантная производная» и «коэффициенты связности».
(с криволинейными координатами) на четырехмерное искривленное пространство-время, а из пространства-времени на многообразия более общего вида (о многообразиях см. § 9.7).
Теперь перейдем к обзору дифференциальной геометрии в курсе 1.
Дополнение 8.2. ЭЛИ КАРТАН, 1869—1951 гг.
Эли Картан — одна из самых выдающихся фигур в истории современной математики. Из некролога [141] мы узнаем, что он родился в семье кузнеца на юге Франции и, подтвердив значение правительственных стипендий, прошел путь до профессора в Сорбонне, которым он стал в 1912 г., когда ему было 43 года. В возрасте 32 лет он создал внешнее дифференцирование [142], которое использовал в основном в теории дифференциальных уравнений и в теории групп Ли, куда успел уже внести значительный вклад. Ему было около пятидесяти, когда он начал применять внешнее дифференцирование в геометрии, и шестьдесят, когда он специально приступил к исследованиям в римановой геометрии, создав
§ 8.3. Геометрия е трех аспектах 251
I
труд 16], который и по сей день переиздается и рекомендуется для изучения. Однако, хотя его работы п получили всемирное признание, они были не очень популярны у читателей вплоть до 1940 г.
В это время во Франции новое поколение математиков, выразителем которого явилась группа Бур-бакн, начало создавать новую концептуальную базу в математике, и в частности для методов и подхода Картана. Сделанное Картаном стало доступным для понимания и изложения, чего нельзя было сказать про его собственные работы, и к моменту его смерти в возрасте 82 лет в 1951 г. его влияние было явно доминирующим в революционных преобразованиях, захвативших к тому времени все разделы математики (теорию групп Ли, дифференциальные уравнения и дифференциальную геометрию), в которых он работал.
Современный абстрактный, свободный от координат, подход в геометрии, широко используемый в этой книге, во многом обязан Эли Картаыу. Им найден также геометрический подход к ньютоновской теории тяготения, развиваемый и используемый в гл. 12.
