Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(1.138)
53
идет о типе I в узком смысле. Если все собственные значения отличны от 0, но два из них совпадают друг с другом, то это — либо вырожденный тип I (тип D), либо тип Il в узком смысле (невырожденный тип II). Тогда следует обратиться к исследованию собственных векторов. Если кроме одного неизотропного жестко заданного собственного вектора (отвечающего корню кратности 1) существует лишь изотропный (ортогональный первому) жестко заданный собственный вектор, то имеем дело с невырожденным типом II. В противном случае реализуется тип D и второй собственный вектор не задан жестко — фактически это все векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярной первому собственному вектору; они собственные для второго собственного значения (кратности 2). Среди них всегда имеется изотропный вектор, но отличие от типа 11 состоит в том, что кроме него тому же собственному значению отвечают и неизотропные собственные векторы. Итак, имеется один нетривиальный случай для ранга матрицы Вейля 0, один — для ранга 1, два — для ранга 2 и три — для ранга 3. Другие подходы к практическому применению классификации гравитационных полей по Петрову см. в [58].
Конечно, привлечениё типов по Петрову для истолкования гравитационных полей как чисто Волновых или полей статического локализованного источника возможно лишь в исключительных случаях: всякое "смешение" разнородных полей и даже суперпозиция однотипных полей с несовпадающими направлениями симметрии приводит к изменению их типа, чаще всего переводя его в алгебраически общий тип I. Однако асимптотически для островной системы источников можно разделить гравитационное поле на наслоение полей с разной скоростью убывания на бесконечности. Этот факт выявлен в "теореме о расщеплении" Сакса [43], согласно которой
R=Nr'1 +Illr'2 +Ilr'3 + I г-4 + ... . (1.4 39)
Здесь у тензора кривизны (так как рассматривается поле вне источников — это тензор Вейля) не записаны индексы, как и у его асимптотических составляющих, которые обозначены символами соответствующих типов по Петрову. Радиальная координата г, по обратным степеням которой кривизна разлагалась в ряд Тейлора, принадлежит координатам Бонди (см. [14] и §7.6).
Формулировка теоремы Сакса дана несколько неполной, чтобы не увеличивать объем параграфа.
Глава 2
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ И ГРАВИТАЦИЯ
2.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В классической (неквантовой) физике известны два взаимодействия — электромагнитное и гравитационное. Остальные выступают здесь в обличье сил, не имеющих отношения к полям, да и электромагнетизм часто маскируется под химические силы и силы ван-дер-Ваальса. Эти два взаимодействия известны человеку с самой зари цивилизации, а гра-
54
витация была ему настолько привычна, что ее (каков парадокс) было даже трудно осознать как взаимодействие. Считалось просто, что тяжелые тела стремятся к геометрическому центру мира, а легкие — бегут от него. В наши дни подобная геометрическая и топологическая трактовка взаимодействий отчасти возродилась: такова геометризация тяготения, несиловой облик принципа Паули и некоторые аспекты поведения кварков. Однако два классических взаимодействия замечательны и тем, как в них проступают параллели (если угодно — гармония) между полями и диссонансы между ними. Анализ этих сторон теории в приближении слабого поля довольно банален (см., хотя бы, [77]). Здесь мы сосредоточим внимание на точных проявлениях этих свойств.
Объединению гравитации и электромагнетизма посвящали усилия виднейшие специалисты, в частности и в особенности Эйнштейн. Мы не будем обсуждать пути такого объединения (тем более, что оно не было удовлетворительно осуществлено), однако вспомним любопытное высказывание Фейнмана: "До сих пор никому не удалось представить тяготение и электричество как два разных проявления одной и той же сущности. Сегодня наши физические теории, законы физики — множество разрозненных частей и обрывков, плохо сочетающихся друг с другом" [140, с. 31]. Конечно, классик квантовой физики несколько утрировал положение, но ясно, что он не был к нему безразличным.
2.2. ДВИЖЕНИЕ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
Чтобы лучше почувствовать аналогию между электромагнетизмом и гравитацией, рассмотрим теперь движение пробных электрически заряженных массивных частиц в этих полях в точной теории. Представление о физических полях, заполняющих области пространства, приходит к нам из экспериментов с пробными "зарядами", и это принципиально, а не сводится к историческому экскурсу. Конечно, аналогия не сводится к тождеству и автоматически предполагает определенные различия в деталях и даже в принципах, отражая единство более широкого класса (ведь физические поля называют полями не только потому, что они описываются с помощью геометрических объектов, зависящих от точки пространства-времени).
Замечательно, что уравнения движения пробной массы с электрическим зарядом могут быть в ОТО сведены к простой форме:
и A *d{mu + еА) = 0. (2.1)
Здесь т и е — масса и заряд частицы; и — ее 4-скорость (записанная как ковектор), А — электромагнитный 4-потенциал. Мы стремимся привести в дальнейшем эти уравнения движения к виду, указывающему на природу тех величин, которые способен открыть эксперимент (и тем самым природа указывает, какие именно величины следует класть в основу теории и где имеет смысл искать аналогию). Несомненно, что потенциал А не есть непосредственно измеряемый объект, но в значительной мере является результатом абстрагирования. Если опыт повзоляет учесть глобальные характеристики системы (прежде всего ее топологические свойства, — мы имеем в виду опыт Бома—Ааронова, требующий также учета
