Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
+ 0(р - е) + е(я - а) — к (р + 7) +^i;
Яоіоі — ^23Oi: D7 — Де = а(т + я) + 0 (т + я) -
- 7 (е + ё) - е (7 + 7) + гя - VK + + 4>! і - Л;
Riззо= DX - бя = рХ + <тр + я (я + а — /3) -
- vi< — X (Зе - ё) + Ф2 о;
R1320- Dju — бя = до + аХ + Jr (я — а + р) —
- р (е + ё) - VK + + 2Л;
Яізіо: Dv - Дя = р(я + г) + X(я + г) +
+ я (7 - 7) - V (Зе + ё) + Я'э + Ф21 ;
зз і: AX -Sv = — Л (р + р + З7 — 7) +
+ V (За + P + я - ?) -V4;
R2оз2: бр — ба = р(а + р) — а (За — Р) +
+ т (р - j5) + к(р - Д) - + Ф01;
^0123 — ^2323 * Sa — Sp = fip — Xa + аа + PP -
- 2«0 + 7 (р — р) + є (р — Д) — ^2 + Фі і + Л;
Яізз2-' SX - Sn = v(p - р) + я(р-Д) +
+ р(а + 0) + X(а — 3/3) + Ф21 - *3;
Я і з 12: 6v — Др = р2 + XX + р (7 + у) —
- vn + V (т - 3Q - а) + Ф2 2;
Л0121 — Я2321: 57 - ЛР = у (г - а - Р) + цт -
- av — ev — P (у — 7 — р) + аХ + Фі 2;
R 0221: Sr — Д ff = pff + Xp + г (т + P — о) —
- СГ(З7 - 7) - KV + Ф02;
/?огіз: Др - Sr = —рД — a\ + тф - a - т) +
+ P (7+т) + VK — Я?2 — 2Л;
Ro!зі - R2331: Aa - Ъу = v(p + є) -
- X (т + 0) + а (7 - Д) + 7 (0 - т) - ^3.
Вместо обычной нумерации уравнений мы здесь предпочли указывать слева в начале каждого уравнения, какой комлоненте (или комбинации компонент) тензора кривизны оно отвечает. После этих 18 уравнений НП приведем еще 11 уравнений, отвечающих тождествам Бианки. Нумеровать их будем по такому же принципу:
02 [ 02; з): б— D'&i + ОФоі — 5Ф00 =
= (4а - яг) 'I'o - 2(2р + є) + Зк'І'г +
+ (f - 2а - 20) Ф00 +2(е+ Д)Ф01 +
+ 2аФ10 — 2кФц - кФ02»
Д02[02;і]: Д^О -S^I + ОФ02 - 5Ф01 =
= (4? - Ji) *0 - 2 (2т + 0) + 30*2 +
+ (2е - 2ё + jo) Ф02 + 2 (її - (3)Ф01 +
+ 2аФц — 2кФі2 - ХФ00;
з[ 01; з] : 5^3 — D^n + 6Ф2 1 — ДФ20 =
= (4е - р) - 2 (2я + a) ^3 + ЗХ*2 +
+ (27 - 27 + Д) Ф2 о + 2 (т - а) Ф21 +
+ 2ХФц - 2і/Фіо - стФ22;
—1 [ 23; 1 ] : Д^З "5^4 + 5Ф22 — ДФ21 =
= (40 — т) ^4 — 2 (2д + 7) ^3 + 3^^2 +
+ (т - 20 - 2а)Ф22 +2(7 + м)Ф2і +
+ 2ХФ12 - 2і>фц - РФ20;
^ог[з1; о]: 0^2 ~ + ДФоо — 6Ф01 + 0/7/12 =
= —X't'o + 2 (я - а) Фі + 3P^2 - 2кФ3 +
+ (2> + 27 - Д) Ф00 - 2 (г + а) Ф0! -
- 2тФ10 + 2рФц + аФ02;
^зі[о2; і}- Д'І'г — б^з + ОФ22 — 6Ф21 + Д/7/12 =
= 0Ф4 + 2(0 - т)*3 - ЗцЧ>2 + 2v*l + (р - 2е - 2ё) Ф2 2 + + 2(7Г +/3)Ф21 + 2яФ12 - 2/іФц -ХФ20;
-ЯзI[02; з]: “5^2 - 0Ф21 + 5Ф20 -SR/12 =
= -K^4 + 2(р — є) + Зя'І'г — 2X^1 +
+¦ (2а - 20 - я)Ф20 - 2(р - є)Ф21 - 2яФц + 2дФю + ЙФ22;
^02[ 23; і ] • Д*і — 6Ф2 — ДФоі + 8Фо2 — б/?/12 =
= v'ffo + 2 (7 — (I)yIfi ~ ЗгФ2 + 2O^3 + (т — 20 + 2а)Фог +
+ 2(ЇГ - >)Ф0і + 2тФц - 2рФ12 - иФ00;
rO-,їх - П/2)Яд,ї ?>Ф,, -6Ф10 -ЇФоі + ДФоо +
+ DRI8 = (2у — Ц + 2у — jl) Фоо + (я — 2а — 2т) Фо і +
+ (я — 2а — 2т) Фі 0 + 2 (р + р) Фц +
+ аФ02 + 0Ф2 о “ 2 “ кФ21;
R2-,h - t1 /2)Rх- офі2 “8Фіі -6Ф02 + ДФоі +
I- SR/8 = (20 — 2а + я - г)Ф02 + (р + 2р - 2є)Ф12 +
¦ 2(1 - т)Фц + (2у — 2Д — д)Ф0і +
• ї'Фоо “ ХФіо + 0Ф21 “ КФ22;
<1/2>ЯЛ: ОФ22 _5ФМ ~^ф12 +ДФіІ +
+ Д/7/8 = (р + р - 2е - 2є) Ф22 + (20 + 2я - т)Ф12 +
+ (20 + 25г - т) Ф21 - 2 (/і + Д) Фі і +
¦Ь І^Фоі W^lO “ ХФ20 “ ХФо2*
Последние три уравнения представляют собой дважды свернутые тождества Бианки, что видно и из принятой нумерации.
Конечно, во всех приведенных уравнениях нет ничего нового — это те же самые уравнения, которые были приведены в исходной работе Ньюмена и Пенроуза [91] и которые можно найти во всех других публикациях, излагающих формализм НП (например, в известной монографии о точных решениях уравнений Эйнштейна [58] или в отличной статье Чандрасекара [149]). Однако все эти источники не всегда доступны, и мы сочли нужным записать здесь уравнения в их полном виде. Кроме того, например, у Чандрасекара тождества Бианки даны лишь для случая вакуума (Фад = О). К тому же мы пользуемся при получении тензора Риччи правилом свертывания компонент тензора Римана—Кристоффеля, принятым в работах Эйнштейна, Эйзенхарта и др., но не в работах Ландау и- Лифшица, Мизнера, Торна и Уилера и др. (У них результат отличается от нашего знаком, что компенсируется изменением знака в правой части уравнений Эйнштейна.)
Вообще обозначения для величин, используемых в формализме НП, у разных авторов не совпадают. Читатель может по этому поводу обратиться к обзору [169], здесь же мы приведем табличку для пересчета нумерации значений индексов и обо-
47
значения тетрадных векторов (в первой строке даны наши обозначения) :
0123 к Imm
[149] 1 2 3 4 I п т Th
[58] 4 3 12 к 1 т т
Перед тем как перейти к обсуждению классификации гравитационных
полей по Петрову, отметим еще роль формализма НП в аналитических
вычислениях в ОТО на ЭВМ. Некоторую информацию об этом применении формализма НП можно почерпнуть в [31, 56] . Вся структура этого формализма очень хорошо приспособлена к машинной алгоритмизации аналитических вычислений в ОТО, хотя, конечно, и тетрадные методы с ортонормированным базисом также используются для этих целей. Применение наряду с определением компонент тензора кривизны тождеств Бианки для решения задач ОТО характерно и в развивающемся теперь направлении, где на основании заданных компонент тензора кривизны (в некотором, заранее не определенном во всех деталях тетрадном базисе) получают метрический тензор (см. [49, 68] (. Это направление также с успехом использует аналитические вычисления на ЭВМ.
