Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем к обсуждению уравнений поля в ли-монадном формализме. С помощью 3 + 1-расщепления интеграл действия можно представить в виде
* 2
/3,
/ = s dt s ? d3x, ti *
где ? = ? (Ag; ?Ag, Ag -) — плотность функции Лагранжа (лагранжиан); Ag -AqPcb; Pcb — обобщенный проектор; Ag - = A^
Будем предполагать, что среди переменных Ag отсутствуют величины, описывающие гравитационное поле (уравнения поля для ОТО рассмотрены в § 2.5). Вариация действия определяется выражением
t2 ( Э ? Э* \
Ы = S dt Ї (--------- SAn + --------- SA= , + --------d?A^)d3x.
tl ^ Уад8 s дАв .р в’* ъ?ав і bJ
Отсюда после выделения дивергенциальных членов и полной производной по времени (производной Ли) получим
35
дХ
?--------
% b?As ( B
где
3&e
^AB
3SX
(1.96)
d* /э* \
^aB \^АЄ,р/ ^
C‘
При выводе этих уравнений, как обычно, считалось, что вариация SAg произвольна внутри области Zxfn равна нулю на границе области. Легко показать, что уравнения (1.96) полностью эквивалентны уравнениям поля в 4-мерном симметричном походе.
Замечание. В совокупность величин Ag с коллективным индексом В включены также и объекты пониженной (в ходе проектирования на ?) тензорной валентности, так что общее число величин Ag и Ag в действительности одинаково.
Наиболее ярко преимущество ли-монадного подхода по сравнению с традиционным 4-мерным проявляется при анализе гамильтоновой динамики. Действительно, в этом случае имеем дело с эволюцией системы: полевые переменные задаются на некоторой пространственноподобной гиперповерхности, а уравнения Гамильтона определяют их изменение со временем.
Определим функцию Гамильтона как интеграл по 3-мерной области Б от плотности функции Гамильтона (гамильтониана)
H (Ag, ж8, г) = ffy d3x;
(1.97)
(1.98)
Тогда интеграл действия запишется в виде '2
/ = f dtf (к8 ?Ag -% )d3x.
11 2 $
После варьирования по переменным Ag, я® получаем уравнения
?AS = 36W/6ff®; = ~3ЬН/ЬАп. (1.99)
% В \ В
где
3Ьн
^АВ
ч
Ъа я
Pa •
3S н _ Э*
Эя5
5я*
- вариацион-
ные производные.
36
Замечание. В формуле (1.96) ,отдавая дань сложившейся в физике традиции, для обозначения вариационной производной использован символ 3SS /ЬАщ, а не 3SLZdAjf .
Скобки Пуассона. Пусть на Ef задан функционал F-F Hg, тР, t): F = J f cf3x. Здесь Z
•9
Производная Ли от F равна
/ = f (Ag, Ag' я®, Jrp, xh. SC Et.
а
/ 3fi/r 36,7 §\ 3
( ----- ? >4= + ----------=г- ?7П ) d3x +
\«*g * * ыв I /
/ aZ1 я\
I---------+ ----------------Г- )лл-
?F = f (ft*1) ud3x + f «ES \омв
+ /
Предположим, что поверхностные интегралы исчезают при удалении границы на бесконечность. С помощью уравнений (1.99) перепишем эту формулу в виде
/ 3Sf 3Sh 3Sf 38н\ ,
?F = btF + S I------------ж - —» -----------------Jrf3Jf.
% 2 \«»в в*® «л* «лв/
где производная dfF : = / (/ ^i) <У3х учитывает явную зависимость
Б
Zr от времени. Перепишем полученное соотношение следующим образом:
IF = btF + [F, #/]. (1.100)
I
Здесь
/ 3Й#г 3Xm 3Sp 3Sm \
d3x
— скобки Пуассона. Определим скобки Пуассона для любых функционалов Ff Gt заданных на Ef, как
/ 3Sf 3Sg 3Sf 3SgN ,
1? -ЇР-ЕГ)"-
Очевидно, что ? Я = dttf (ср. с аналогичными соотношениями в классической механике).
Применим общие уравнения движения (1.100) к случаям F = A^ и F = Kb . Величины Ag и можно представить в интегральном виде с
37
помощью 3-мерной 6-функции Дирака:
Ag(x, f) = f Ag(y, f)5(3) (х - y)d3y; Б
я® (х, f) = SnsIy, t)S(3) (х - y)d3y.
Б
Замечание. Трехмерная
6 О)
-функция определяется равенством
/ 5(3) (X - Y)d3x = 1, VSCSf
2
Отсюда для полевых переменных Ag и импульсов и получаем "уравнения движения":
? АВ = Mg, «]; = [я®, W]. (1.102)
5 к
Это полевые уравнения гамильтоновой динамики, записанные через скобки Пуассона.
Приведем ряд полезных соотношений:
[Ag (X), vZ(y)] = />?«(3> (х - у);
[AgM, A^ (у)] = 0; [ я® (х), ягС (у) ] = 0.
Пример. Скалярное поле в ли-монадном подходе. Лагранжиан нейтрального скалярного поля
<? = - ( V^T/2) [м2<02 ~ а<0'а]-
После расщепления производных на временное и пространственные направле-
ния перепишем его в виде
X = ( \А7/2)[ (MN2) ( ? V»)2 - <р*р,п - H2V2].
%
Для гамильтониана
Ht= + ^ (
где Я = (\fb/N) ?ф - плотность импульса поля.
%
Уравнение поля записывается следующим образом:
? JT - (V^Va) = -M V
I
Уравнение Гамильтона—Якоби. Рассмотрим интеграл действия как функцию верхнего предела. Будем считать, что эволюция динамической системы происходит в соответствии с полевыми уравнениями. Тогда
38
вариация действия равна:
(1.103)
Аналогичным образом действие можно рассматривать как явную функцию времени. Вариация действия в результате увлечения всех геометрических объектов вдоль векторного поля % определяется выражением
или, с учетом (1.103),
3«/
бо/ = -Hbt + 6t f ---------- ? Asd3X.
I Z 8
Так как I=I W5 J, то отсюда следует:
