Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из единственности и существования решения для этой системы уравнений следует, что X = X0 = 0, если это условие выполнялось на начальной гиперповерхности Sfo. Так как уравнения эволюции связей записаны в общековариантном виде^ то полученный результат справедлив в любой системе координат. Окончательный вывод можно сформулировать в виде теоремы, являющейся общековариантным обобщением теоремы Сакса [46, с. 93].
T е о р е м а. Пусть TL — 3-мерное пространство с отрицательно (положительно) определенной метрикой Ьф, а хар ~ симметричный тензор, определенный в этом пространстве и подчиняющийся уравнениям связей
(2.42). Тогда существует одно и только одно пространство-время, с XHv = 0, которое имеет изометричное TL 3 мерное подпространство с Xa^ в качестве его второй фундаментальной формы.
Хотя переменные ba$, na@ образуют полную систему данных Коши, инимальной системы [46, с. 84, 148]. Из двенадца-
зей, а из оставшихся восьми четыре можно исключить, наложив координатные условия. Таким образом, остаются четыре динамических уравнения, которые определяют эволюцию системы с двумя степенями свободы [5] . Кроме того, уравнения Эйнштейна перенасыщены информацией: они описывают дважды одну и ту же динамику — один раз с помощью динамических уравнений, другой — через уравнения связей [59] . Действительно, если начальные данные удовлетворяют на поверхности Коши
(1/V=?)| (yfbX) + Xjv = 0;
(1 lsT^j)? (VbXv) - GvX - Хїїх% = 0. % а
четыре можно исключить с помощью уравнении свя-
уравнениям связей и эволюция геометрии осуществляется в соответствии с уравнениями (2.41), то измененные динамические переменные будут удовлетворять связям при переходе к соседней гиперповерхности. С другой стороны, если они удовлетворяют связям на любой пространственноподобной гиперповерхности, то они с необходимостью удовлетворяют и динамическим уравнениям. Проблема выделения независимых степеней свободы гравитационного поля наиболее трудна при формулировке гамильтоновой динамики. Охарактеризуем вкратце различные точки зрения на эту проблему.
Подход АДМ [5].В процедуре АДМ 3 + 1-расщепление пространства* времени осуществляется с помощью сечений t = X0 = const, где X0 — координатное время. Импульсы, канонически сопряженные 3-мерной метрике bjj, определяются, как обычно, через внешнюю кривизну XfJ- я,у = \/Ъ (х*у — Ьчх)- Гамильтониан записывается в виде
H=S (Л/Со + NiCi) d3х,
Zr
где C0 — гамильтонова связь; C0 = (1 l\JB) (KiJii4 — (1/2)я2) — \/ь'3Я;
(У — импульсные Связи, C1 = 2ir|y .
Функции N и Ni называют функциями темпа (хода) и сдвига соответственно, по сути дела это лагранжевы множители в вариационном принципе. С геометрической точки зрения эти функции определяют, каким образом следует продолжать координатную сетку при переходе от гиперповерхности Sf к Zf + 5f : N дает связь между собственным и координатным временем 6т =N(X)Sti Ni (х) — между пространственными координатами на Ef и Zf +§f, бх7 =—N,8tt где N1 = btJNj.
Действие записывается в виде
/ = Jdtf (/'Ь.J - NC0 - NiCi + 2кXf). (2.43)
Здесь лагранжиан негравитационных полей, а точка означает диф-
ференцирование по координатному времени х°.
Замечание. В ли-монадном формализме производная по времени определяется как ? и связана с производной АДМ соотношением
I
pi = bH + bHpNp ¦ 2NpiJbnpl
N; = g0i, + Ni ;
кроме того, N = <s00r1/2.
Динамические уравнения Эйнштейна получаются при варьировании
(2.43) по 3-мерной метрике Ьц, а связи.— по лагранжевым множителям N и Nj . Варьирование по импульсам я,у приводит к стандартным соот-
69
ношениям между внешней кривизной и производной по времени (производной Ли в направлении ?) от bjj (1.81).
Независимые степени свободы в методе АДМ выделяются в несколько этапов.
A. В предположении асимптотически плоской геометрии уравнения связей разрешаются явно для 4 из 12 переменных (bjj, я/у). Это осуществляется с помощью разбиения переменных на след, поперечно-бессле-довую и продольную составляющие и использования методов теории возмущения относительно пространства Минковского. Дезер [27] обобщил эту идею на случай произвольной фоновой метрики.
Б. Производится выбор системы координат (наложение координатных условий). Координатные условия АДМ имеют вид я = Q, b,j у = 0. На бесконечности координаты АДМ стремятся к обычным декартовым координатам, функция хода N- к 1, а сдвиг Nj — к 0.
B. Динамические (независимые) степени свобдды отождествляются с поперечно-бесследовыми составляющими метрики и импульсов.
Г. Ненулевой гамильтониан получается поСле выделения независимых переменных через решение гамильтоновой связи.
Для определения энергии системы нет необходимости в разрешении уравнений связей. В гамильтоновой связи содержатся линейно вторые производные 3-мерной метрики (в члене 3A?). Они могут быть выделены в виде дивергенции
Ho = - S [Ny/b ^bkHbikJ - 6,у,*) ] td3x =
Zf
= Ф SfbbiIbkHbikrj - bjj к )dsi;
->°°
в последнем интеграле предполагается, что N асимптотически стремится к 1. Таким образом, "истинный" гамильтониан получается после выделения дивергенции
