Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Г2оо = к; Г2оі = т; T2Qi-O) Г2оз = р;
Гізо = Гіз і = v; Гіз2 = її', Гізз=Х.
42
(1.118)
Ввиду комплексности базиса НП и свойств его векторов этим исчерпываются независимые компоненты коэффициентов связности (прочие находятся комплекс-ным сопряжением, при котором индексы 2 и 3 заменяют друг «руга). Коэффициенты связности (1.118) называют спиновыми коэффициентами, так как их просто получить также из спинорного формализма в ОТО (который здесь не затрагивается). Специфическими обозначениями спинорного формализма также объясняется выбор индексов в формулах (1.119), (1.120), (1.122). Укажем геометрический смысл некоторых спиновых коэффициентов: К и действительная часть 6 описывают ускорение (негеодезичность) конгруэнции к; р называют ее комплексным расширением, а О — комплексным сдвигом. С точностью до знака действительная часть р описывает обычное расширение, а мнимая — вращение конгруэнции к. Ввиду тех же свойств комплексности независимыми являются только три комбинации 1-форм связности, а именно:
CJ 2 о ~ Kl + Tk — cfm— pm;
CJi3 - TTl + Vk - Jlm — Xm;
(1/2) (CJi0 + CJ2 з) = €l + Jk - Pm - am .
Приведем пример нахождения других компонент путем комплексного сопряжения:
Гзоо = Г*2 00 = к; ^3 0 = Kl + Tk — Om — pm.
Десять независимых компонент тензора конформной кривизны Вейля комбинируются в пять комплексных автодуальных компонент (при комплексном сопряжении получаются антиавтодуальные) :
Co2 02 = ^0»* Cq 10 2 =^Ь Cq2 3 1 ~ l',
При нахождении остальных действительных компонент из (1.119) следует учитывать бесследовость тензора Вейля (в базисе НП)
(например, ясно, что C0123 = ^2 ” ^2) • Тензор Риччи также сводится к меньшему числу комплексных компонент (хотя и не к пяти, так как сюда входят и чисто действительные величины):
Наконец, упомянем и скалярную кривизну, которую некоторые авторы заменяют конструкцией
Соїзі - ^з; ЄіЗІЗ -^4.
(1.119)
Соцрі + Cifivo “ Сїррз — C311V2 - 0 и тождества Риччи для него
^O 12 3 + ^O 2 3 1 + C0312 = 0
Фоо = -(1/2)А?оо, Фц = — (1/4) (/?о і +/?2з);
Ф22 = — (1 /2) А?11 f Фо і = Фю = — (1/2)/?о2#
Фі2 = Ф2 I = — (1 /2) А? 1 2, Фо 2 = Ф20 = (1 /2) А? 2 2 •
(1.120)
A = Rf24 s (1/12) (Я01 - Я23),
(1.121)
что вместе с (1.119) и (1.120) полностью определяет все компоненты тензора кривизны Римана—Кристоффеля.
(1.124)
При описании электромагнитного поля его напряженность представляется с помощью трех комплексных компонент (1.113), которые в формализме НП обозначаются как
F1 = Ф0; F3- Ф,; F2= Ф2 (1.122)
(инвариант поля можно получить из (1.111), а компоненты тензора энергии-импульса — из (1.1126). В результате уравнения Эйнштейна с чисто электромагнитными источниками принимают вид
ФаЬ =кфа*Ь, а,Ь = 0,1,2, (1.123)
а вакуумные уравнения Максвелла записываются как 0Фі - 6Ф0 = (я - 2я)Ф0 + 2рФі - кФ2;
0Ф2 - 6Фі = -ХФ0 + 2яФі + (р — 2е)Ф2;
бФі - ДФо = ((л - 2у) Ф0 + 2гФі - аФ2;
6Ф2 - ДФі = -v<P0 + 2/іФ! + (г — 2/3)Ф2.
Коммутаторы дифференциальных операторов (1.117)
[Д, D] = (у + у) D + (є + є) А - (т + п) 5 - (г + я)5; (1.125а)
[5, D ] = (a + P - И) D + кА - (р + е - е)6 — аб; (1.1256)
[б, Д] = -vD + (г - її - Р)А + (At - 7 + 7)5 + Х5; (1.125в)
[6. 6] = (Д - /і)0 +(р- р)А + (а - 0)6 + (0-??, (1.125г)
если учесть соотношения (1.42) и (1.117), содержат сводку структурных коэффициентов изотропного комплексного базиса; например, из (1.25а) видно, что C°Q = 7 + 7, Cj0 = є + є и С*2 = а - /3.
В формализме НП работа с уравнениями Эйнштейна обычно осуществляется по специфическому стандарту. Вместо того чтобы непосредственно рассматривать систему из 10 уравнений в частных производных второго порядка, здесь за основу принимается система таких уравнений первого порядка, число которых, естественно, больше. Тогда (например, в случае электровакуума) уравнения (1.123) рассматриваются просто как алгебраическая подстановка, а собственно дифференциальными уравнениями будут определения компонент тензора Ри-мана—Кристоффеля (их и называют уравнениями Ньюмена—Пенроу за) и тождества Бианки. Последние (при уже обеспеченных алгебраических свойствах тензора кривизны) гарантируют, что заданный тензор кривизны отвечает некоторой римановой метрике (условия интегрируемости), так что новая система уравнений полностью эквивалентна обычным уравнениям Эйнштейна, хотя совокупность искомых неизвестных величин в ней, конечно, другая. Тем самым подход НП несколько напоминает еще более радикальную ломку традиций Иригом [49] и Макинтошем [68] (работы, продолженные в нашей группе в Университете дружбы народов им. Патриса Лумумбы Эрнандо Кеведо Кубильосом [55]).
Итак, запишем уравнения НП:
Rо2оз : Dp - Ък = р2 + оо + р (е + е) -
44
- кг - к (За + Д — я) + Ф00;
/?0202: Dff - бк = ff (р + р + Зе — ?) —
- к (г — я + а + 3/3) +
Лого і: От — Ак = р (т + п) + <7 (г + я) +
+ т(е - ё) - к(З7 +7) + + Ф01;
^2303 — Я0103: Dtt — Se — Cl (р + е — 2е) +
+ /?<; — 3<т — кХ — ку + я (е + р) + Фі«;
/7ою2 — Лгзо2: DQ — Se = о(а + я) +
