Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. дифференциальные уравнения в системе n тел 177
12 с. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
стему в виде
йа2в2 + К0Та3 2 !Ца2В2 =
(с3^аз)Са2
О а3 о а3о3 а2о2 о а3 ^ /*^Гл аза2'^2*
(4.90)
Заметим, далее, что матричный интегральный оператор, порожденный левой частью этой системы, имеет блочную структуру, соответствующую двухкластерным разбиениям а2. Мы встречались с подобным оператором при выводе интегральных уравнений. Для обращения этого оператора, как и выше, рассмотрим вырожденные задачи четырех частиц, отвечающие разбиениям а2. Соответствующие компоненты Г:матрицы, определяемые формулой (3.97) при, к = 2 и N =* 4, подчиняются системе компактных уравнений
+ ТОаН0 2 мЗД = Таз8 с (4.91)
3 3 3 (^а3)Сая 3 3 3 3 3
Сравнивая левые части систем (4.91) и (4.90), замечаем, что матричный интегральный оператор, отвечающий каждому блоку в (4.90), с точностью до множителя И0 совпадает с оператором в левой части (4.91) при соответствующем а2. Поэтому обращение левой части (4.90), как и при выводе интегральных уравнений (3.103), может быть
произведено в терминах операторов В результате
этого обращения приходим к системе интегральных уравнений для компонент ^а2в2:
КАА-^Йвваьв-В0 М1;^2,,2, (4.92)
(<13ф\)Са2
где в!3ь3 = — КоМ13ь3Ко' Тем самым показано, что решение системы дифференциальных уравнений (4.89) удовлетворяет и интегральным уравнениям (4.92), эквивалентным системе (3.103).
Верно и обратное. Именно, пусть ^а2в2 — решение системы интегральных уравнений (4.92). В силу обратимости преобразований от (4,90) к (4.92), компоненты ^а2вя удовлетворяют и уравнениям (4.90). Дифференци-
178 гл. iv. конфигурационное пространство
руя последние, устанавливаем, что решения компактных интегральных уравнений удовлетворяют и дифференциальным уравнениям (4.89).
Дифференциальные уравнения для 42-компонент волновой функции могут быть получены обычным путем из дифференциальных уравнений (4.90)" для компонент резольвенты. Напомним, что волновая функция ^(A\ отвечающая каналу 4, определяется соотношением (2.3). В соответствии с этим равенством введем компоненты волновой функции по формулам
ФЙк = lim HF fe 2 Чс2 (ЕА ± fe) LA (ЕА). (4.93)
При этом для волновой функции справедливо представление
б2
Случай й — 4, когда в правой части появляется плоская волна ei(p>x\ отвечает четырем свободным частицам в начальном состоянии. Компактные уравнения в дифференциальной форме для компонент Фб2а получаются из (4.89) с учетом этого определения:
(- Ах + vbi(xb3) - ЕА)ФАв2(Хг рА) +
+ 2 Фс3ь2>а(^, Ра) =
(d3-b3)cb2
(4.94)
Здесь ЕА = pi— xi, Ьа—любое разбиение, удовлетворяющее условию b2^b2. Отметим, что суммирование этих уравнений по всем В2 приводит к уравнению Шрединге-ра для функций ФА(Х, рх) 4яА(Х, рА) — 6ft4 exp {i(X, Р)}:
(-Ах+га) - я)ФА(х, ра) - -га)вме«х.р).
Полученные уравнения при & = 4 неоднородны. Будем обозначать компоненты волновой функции в этом случае через Ф(б^« Чтобы получить однородные дифференциаль-
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СИСТЕМЕ N ТЕЛ 179
^аквк = Ил^х^+^а^
— 2 2 ¦^оМал+1СЛ+1Й(!ьРь+1Ва •
12* <^М^+1^+1)Са&
ные уравнения, введем новые компоненты по формулам
ФВз,0 (х9 Р) = фй] (х, р) _**<*.р)/ 2 вел - б Л,
где /з — любое разбиение на три подсистемы, а разбиение Ъг выбирается тем же, что и в (4.94). Подставляя это равенство в уравнения (4.94), устанавливаем, что введенные компоненты Фв2о удовлетворяют однородной системе дифференциальных уравнений (4.85). Полная волновая функция получается из компонент Фв2,о суммированием по всем цепочкам:
Можно показать, наконец, что данные компоненты совпадают с компонентами, определенными равенствами (4.84).
Перейдем к выводу дифференциальных уравнений в системе N тел.
Дифференциальные уравнения для компонент в системе Л" тел. Пусть На^_— компоненты резольвенты за-дачи N тел, построенные с помощью формул (4.87), где значки а3 и Ь3 следует заменить на и Ь*-1 соответственно. Определим Ль-компоненты резольвенты КайВ^1 2 ^ к[<С N — 1, рекуррентными формулами
Р _ т>(а&+1) л Я
- | 2 НоМ^+2Вс,+1вй+1, (4.95)
<**+1**Ь+1 (1}к+2*Ск+2)^ак+1
где ВЙй!^, - -В.М^к+А Операторы МЙ^+2 определяются равенствами (3.98). Используя правило сумм (3.101), получаем обратное к этим формулам соотношение
^Ак+1вк+1 = 2 ^Аквк при любом Ьь. (4.96)
Согласно (3.103) операторы ^Аквк удовлетворяют системе интегральных уравнений
180 ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Чтобы получить дифференциальные уравнения (4.97), воспользуемся тем обстоятельством, что компоненты
^аЛГ_1ь]У_1УДОвлетворяют также системе дифференциаль-
Покажем, что компоненты ^аквк подчиняются также и дифференциальным уравнениям. С этой целью докапаем следующее утверждение.
Ядра операторов ^аквк в конфигурационном пространстве при любом k, 2^k^N— 1, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
(— Л* + ^ajv-i (^fliv-l) — z) rahbh (X, X', z\ +
+ VaN__x {XaN_x) 2 Nr_ #afeC Bfe(X, =
(с/г+1^АА + 1)СаА
~ VaN_x {xaN_x) 2' ^ftDft+1Bfe (X, X', *), (4.97)
