Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Эти члены в ряде особых направлений конфигурационного пространства убывают медленнее произведения сферических волн (4.74).
Таким же способом можно рассмотреть и ядра ^«vr..Yn? более высокого порядка. Можно показать, что эти; ядра являются ядрами типа «2)а&, причем, начиная с ?г = 4, асимптотика компонент типа F стабилизируется и уже не содержит членов, убывающих при вещественных z медленнее произведения сферических волн. При вещественных z => Е + Ю и фиксированном ? ядра R^l представляют собой компоненты функций класса ВЕ, зависящие от X. При этом асимптотические представления (4.25), (4.29) равномерны относительно X'. Ядра, обладающие такими свойствами, мы будем называть ядрами класса ^ар.
Компактные уравнения. После того, как мы исследовали поведение чядер итераций R%$ (X, X', z)t можно перейти к 'доказательству компактности интегральных уравнений (4.70).
Формальная процедура сведения последних к компактным уравнениям в подходящем функциональном пространстве полностью аналогична процедуре, использованной в случае интегральных уравнений для Г-матрицы (3.28). Именно, в соответствии со структурой ядер итераций, мы должны рассмотреть множество йепрерывных вектор-функций (4.27) с заданным убыванием компонент
§ 4. функция грина
171
на бесконечности:
Ра (X) ~ (1 + | X аА (уА) ~ (1 + J уа
v>0. (4.77')
При этом совокупность компонент X', z) =
= {F«?(X, X', z), /АР(уд, X', z> и юл(Х? ув, z)={Ga?(X,"yB, z), НАв(уа, у в, z)j можно рассматривать как элементы такого класса. "Компактные интегральные уравнения второго рода получаются из (4.70), если разбить ядра i?ap и Ra на компоненты (4.71) и (4.29) и приравнять соответствующие слагаемые в левой и правой частях. Этим уравнениям отвечает следующий оператор: ю' = Аю означает,- что
аА {УА) = J -__А_-х
X ^ (я?л)*>а (*а) 2 Фр (У), (4.77)
Р; (X) = - f dX'A« (X, X', Z) va (x'a) 2 ФР (Л-
Здесь через Aa(X, X', z) обозначена инвариантная часть функции Грина (4.23), действующая в подпространстве ^с) = ^1 —^РА|?. Функции ФаШ, а = 1, 2, 3, выражаются в терминах компонент ра и аА равенствами Ф« (X) = ра (X) + 2 фА (*а) сгл Ы-
При этом из оценок, которые мы привели выше, следует, что оператор АЫ переводит множество функций с асимптотикой (4.77') в класс Фв(Х').
Опираясь на эти результаты, можно показать, что достаточно высокая степень оператора, определяемого этим уравнением, является вполне непрерывным оператором. При этом особые точки, тде. однородное уравнение (4.77) имеет нетривиальное решение, совпадают с точками дискретного спектра оператора Н. Мы не будем повторять здесь уже знакомые по главе III рассуждения, которые нужно провести для доказательства этих утверждений.
Перечислим основные свойства функции Грина, которые вытекают из результатов, полученных выше.
172
ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Функция Грипа симметрична по отношению к перестановке аргументов, ЖХ, X', г) = ЖХ', X, г). Справедливо представление
(x
+ 22 В$ (*) + 2 (4.78)
где ядра операторов Гг^р ^) в конфигурационном пространстве являются ядрами класса 3)а&. Асимптотическое поведение остальных слагаемых мы описали выше.
При Х^Х' функция Грина ЖХ, X', г) является гладкой функцией X и X' и имеет конечные пределы, когда переменная г принимает вещественные значения, не совпадающие с особыми точками интегральных уравнений.
Приведем, наконец, асимптотическую формулу
я(х,х\е±ю) ~ сеу0(х,р) ехр(;УДт} +
2, ехр{г УЕ+К2 \ уА\) ^а(х,рА)- ,у , А' ' Ъа(ха), (4.79)
которая устанавливает явное соотношение между функцией Грина и волновыми функциями. Эта формула, аналогично (4.21), может быть использована для альтернативного определения волновых функций, независимого от сформулированных выше граничных задач. Аналогичное соотношение имеет место между компонентами функции Грина Жр и компонентами ФаБ волновых функций.
§ 5. Дифференциальные уравнения для компонент
ВОЛНОВЫХ фуНКЦИЙ В СИСТеме N Т?Л
В этом параграфе мы опишем дифференциальные уравнения для компонент функции Грина и волновых функций в системе N тел. Эти уравнения эквивалентны компактным интегральным уравнениям и могут быть использованы для альтернативной формулировки за^чи рассеяния. Мы проведем детальный вывод дифференциальных уравнений на примере системы четырех тел. В общем случае мы только опишем основные результаты и наметим схему их доказательства.
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СИСТЕМЕ N ТЕЛ
173
Формальный вывод дифференциальных уравнений в системе трех и четырех частиц. Опишем сначала схему формального вывода дифференциальных уравнений для компонент на примере системы трех тел. Разобьем волновую функцию W(X) па три компоненты, которые отвечают возможным асимптотическим состояниям системы:
Oa = -Ro(E + iO)VaW. (4.80)
Применяя к обеим частям этого равенства оператор Н0 — Е, получим его дифференциальный аналог:
(Ho-?)Oa = -Va4<\
Выразим затем волновую функцию через компоненты:
4я ^ 2Фа- Перенося диагональный член с р«а в лете
вую часть равенства, придем к искомым уравнениям: (Н0 + Va - Е) Фа = - Va 2 Ф3. (4.81)
