Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. ВКЛАД ДВУХЧАСТИЧНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ 15?
степени 1x1 ~г. Такие рекур- ^ш-ъ-и, *^илр
рентные соотношения будут -(~ 1 -
приведепы в § 1 следующей К^^? аг9$-2** ^ей^ главы.
Итак, мы видим, что Рис 14
для описания координатной
асимптотики волновых функций ХР0{Х,Р) недостаточно элементарных функций. В ряде направлений конфигурационного пространства эта асимптотика задается с помощью специальных функций —интегралов Френеля.
Чтобы понять физическую причину появления интегралов Френеля, сравним асимптотику слагаемого Фая(Х, Р) с асимптотикой поля в задаче дифракции плос-
переход ?«э вокруг начала координат на нижний берег разреза, где arg |a? = 2л,
Ф (я1/4б«Р?е*) -> Ф (#1/4Ы, и S По.
На основании описанных выше результатов мы приходим к выводу, что волновая функция ЧГ0(Х,Р) может быть записана в виде суммы:
W0(X,P)^
= e«*.*) + 2 Ф« (X, Р) + S Р) + Ф„ (X, (4-62)
а a,?
где слагаемое Ф0(Х, Р) принадлежит классу ФЕ, *(Р), причем амплитуда шее*имерной сферической волны FooiX, Р) выражается через матрицы рассеяния формулой
F00(X, Р) = С,(Е)(Те&Р)- 2 Та$(Х\Р\,Р)\,
(4.63)
в которой ядро ГаР определяется равенством (3.79). Амплитуды сферических волн в R3, описывающих процессы захвата частиц, определены в терминах компонент»,Г-мат-риц*>1 формулами (4.40). Асимптотика функций Фа описывается соотношением (4.49), а асимптотика функций ФаР — формулой (4.61). Отметим, что, когда потенциалы va(x) убывают быстрее любой степени Ы~г, асимптотические слагаемые младшего порядка для этих функций можно задать, с помощью рекуррентных соотношений. Уравнение Шредингера будет выполняться при этом с точностью _до произвольной
158
ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
кой волны на полупрозрачном клине. Из соображений наглядности мы будем считать, что частицы движутся по одпой прямой до и после столкновений. Будем предполагать также, что частицы имеют одинаковые массы: = — т2 =» т3 = 1.
Опишем сначала асимптотику волнового поля для дифракции Фраунгофера на непрозрачном клине. Пусть
цилиндрический волны неограниченно возрастает, так что асимптотика поля в указанной форме теряет смысл. Это объясняется тем, что около границ 1 и 2 геометрической полутени рассеянное поле не сводится к цилиндрической волне, а имеет более сложный вид. Оно описывается здесь посредством интеграла Френеля.
В обсуждаемом процессе рассеяния трех одинаковых частиц «по прямой» движение частиц происходит в подг пространстве К2 конфигурационного пространства К6. Это подпространство изображено на рис. 16. Штриховкой помечена область, в которой потенциалы взаимодействия между частицами 2, 3 и 3, 1 существенно отличны от пуля. Они сосредоточены около клиньев, образованных Прямыми ху = О и #2 = 0. Взаимодействие между частицами 1, 2 на рис. 16 не отмечено. Пусть движение .частиц до столкновения описывается плоской"волной с импульсом Р. Граница в этом случае состоит из следующих четырех лучей. Луч А отвечает плоской волне, идущей в прежнем направлении Р. Он является границей, прошедшей без отражения волны («дифрагирующее тело» — клин (102') или (201')). Лучи В я С совпадают с направлениями плоских волн, зеркально отраженных от граней (11') и (22'). Эти лучи являются границами воли, отра-
Рис. 15
плоская волна падает перпендикулярно ребру клина, как это изображено на рис. 15. Асимптотика поля вдали от границ 1 и 2 зеркально отраженных плоских волн представляется суммой плоских (падающей и отраженной или только падающей) и рассеянной цилиндрической волн. Однако по мере приближения к границе . 1 или 2 амплитуда
§ 3. ВКЛАД ДВУХЧАСТИЧНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
159
женных от названных граней клиньев (102'0 или (201'). Наконец, луч В совпадает с направлением дважды отраженной волны — сначала от грани (02) и затем от грани (01) клина (201). Этот луч совпадает с границей таких волн. Подчеркнем, что все клинья следует считать полупрозрачными.
Рис. 16
Слагаемое Oi2 вдали от играет роль цилиндри-
ческой рассеянной волны в случае дифракции на клине. Вблизи же от 0$ это слагаемое описывается посредством интеграла Френеля, в полной аналогии с дифракцией на клине.
Слагаемое Фар отлично от нуля только в секторах АОВ и COD, следовательно, секторы СОВ и СОА являются областями тени, В области АОВ фазовый множитель Фар имеет вид exp{?(UJ IAJ + (г/i, pi)} и отвечает плоской волне, распространяющейся в направлении Р при Xi > 0 или ОБ при Xi < 0. В области COD фаза равна
-±к
2 Г2 ¦ 2 1
— Уі
^к +-U
что соответствует
плоской волне, направленной по лучу С при х^ > 0 и псі лучу В при х\ < 0. Амплитуды таких «плоских волн» убывают как г/іі-1.
Отметим, что направления О А, ОВ, ОС, ОВ можно также описать в терминах классических частиц. Законами сохранения импульса и энергии при последовательных
160
гл. iv. конфигурационное пространство
двучастичных столкновениях разрешены траектории, лежащие в области света. Их границами являются лучи ОА, ОВ, ОС, ОВ. Направления движения классических частиц после столкновений совпадают с этими лучами.
Экспоненциальное убывание собственных функций. Наряду с асимптотикой волновых функций, во многих задачах используется координатная асимптотика собственных функций оператора энергии. Соответствующие формулы, как и способ их доказательства, имеют много общего с описанными выше представлениями для волновых функций. Мы приведем здесь эти. формулы, не останавливаясь, однако, на их обосновании.
