Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
(Afe+1^Dfe+1)Cafe
где
IV-1
2 В-аъСъл-ЛВъ = 2 2 Rakah+l---ai-lci>Bh'
На первом этапе доказательства заметим, что при k=N — 1 и к = N — 2 утверждение справедливо, так как в этих случаях (4.97) совпадает с системой дифференциальных уравнений для а^-^-компонент (4.83) и с системой (4.89), описанной выше, соответственно.
На следующем этапе покажем, что это утверждение выполнено и при к = N — 3. Заметим, что компоненты Ran_3bn_3, в силу формул (4.95) и (4.96), подчиняются уравнениям
Р — Р (й^-2) я я _
Г1Ад_дВд-_з nOAT-ibiY-l°°iV-35iV^3 ' ' ' °aIV-2&IV-2
2 2 2 rM{aN-l] x
(diV-2^aiV-2)CaiV-3 (dN-l^cN-l)CZaN-2 dN~2 ° aN-lCN-l
X R^-3^iv-2^iv-3- (4-98)
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СИСТЕМЕ N ТЕЛ
181
ных уравнений
+ ^-1 2 Кс^ъ^^ — уа^1Д0^_1ь^_1, (4.99)
(с]у~1^а^-1)
где для сокращения записи опущены аргументы у функций иа,м__1(хам_1) И Л^Г^дг-! ' ОчевИДНО, ЧТО
ядра операторов 110 (з) м!^^?]у_1 (г) также подчиняются системе (4.99), в которой свободный член следует заменить на Уа]У__18ам__1ъм_1- Заметим теперь, что матричный интегральный оператор в правой части (4.98) имеет блочную структуру, отвечающую разбиениям ам-2, и применим к уравнениям (4.98) при фиксированном ан-2 диффе-ренциальный' оператор, порожденный левой частью (4.99) при соответствующем аы-2. Вычисляя результат в правой части системы (4.98) с помощью (4.99), получаем следующую систему дифференциальных уравнений для
?гам_3вм_3-
- (Д + - Пам_3вм_3 +
(cN-l^aN-l)^aN-2 = — ^а]у_1^о^алг_зь]у_3ба^_2ь]у_2ба^_1ь]у_1 —
— иам_г 2 2 RdN-BDN-2BN-S^
<*3 (DN-2^^AN-2)L-aN-S
Перенося в левую часть слагаемое с й^-з, — #^-з, приходим к дифференциальным уравнениям (4.97) для
Продолжая и далее описанную процедуру вывода уравнений, убеждаемся в справедливости (4.97) при всех к.
Итак, мы описали семейство дифференциальных уравнений, которым подчиняются Л^-компоненты резольвенты разного типа. Система уравнений (4.97) при к = 2 и является обобщением компактных уравнений в дифференциальной форме на случай N частиц.
Коротко опишем дифференциальные уравнения для компонент волновых функций. Эти уравнения получаются обычным, путем из дифференциальных уравнений для
132 гл. iv. конфигурационное пространство
компонент резольвенты. Определим компоненты волновой" функции ^а, отвечающей Z-кластерному каналу, соотношениями
Ф<В±>А = lim =F te 2 kbkck (еа ± fe) LA. (4.100)
8| 0 eN—l
Волновая функция выражается через введенные компоненты формулой
^л\х,,.ра) = exv{i(xf p)}8ln + 2<DS&(X, рА).
(4.100')
Используя уравнения (4.97) и определение компонент, приходим к следующей системе дифференциальных уравнений для компонент волновой функции:
(— ах + VbN^t (xbnmml) - еа) фВ^А (*) +
+ »to-i (*b*-i) /г 2Г ^h А (x) -
= е^^ь^ (aV-i) вЛ«• • • 8bN-i*N-i —
где cN^2 выбирается из условия cN-213 bN-i- При /с = 2 получаем искомое обобщение компактных уравнений в дифференциальной форме для компонент волновых функций на случай N частиц. Так же, как и в случае четырех частиц, суммирование (4.100) по всем Bk приводит к уравнению Шредингера для
-aINexp{*(xf р)}.
Асимптотические граничные условия. Чтобы выделить из множества решений дифференциальных уравнений единственное решение, совпадающее с компонентами волновых функций, мы должны присоединить к этим уравнениям асимптотические граничные условия. Как и в случае системы трех тел, последние можно определить путем изучения координатной асимптотики преобразований Фурье ядер волновых операторов. Однако, как мы уже отмечали, в отличие от задачи трех тел, полного описания сингулярностей ядер волновых операторов (включая второстепенные полюсные особенности, отвечающие процессам перерассеяния кластеров) до сих пор не проведено. Поэтому мы ограничимся описанием асимпто-
§ 5. дифференциальные уравнения в системе N тел 183
тики волновых функции для процессов с двумя кластерами в начальном состоянии, когда второстепенные особенности отсутствуют.
Итак, рассмотрим волновые функции уР(а){Х1 где символ А отвечает двухкластерному разбиению. Для определенности мы проведегм рассуждения на примере функций со значком (+), Асимптотика функций типа (—) получается с помощью соотношения (4.16"). Сперва
проведем разбиение волновой функции и функции на-
(в л
чального состояния на компоненты. Пусть г|)А — компоненты собственных функций внутреннего гамильтониана, определенные равенством
где — компоненты форм-фактора ФА. Определим компоненты начального состояния формулами
5Саэ) - Ца-з) (ха) ехр [I (рА, уА)}.
Компоненты волновой функции Фб2а (^1 РА) определим равенствами
Фв2а(Х,ра) =
= (2я)Т('а-'0 | ар> ехр {I {Х, Р')} иВ2А (Р\ Рл),
где через 1А обозначено число кластеров детализованного разбиения А и через ив2а — компоненты ядер волновых операторов (3.98'). При этом волновая функция равна сумме (4.100'). Заметим, что ядра ив2л{Р'9 Ра) имеют особенности, которые порождаются полюсами, выделенными в представлениях (2.23) и (3.108). Мы можем записать эти компоненты в виде сумЪш:
