Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(1 + Tito) = - 1 4- Гсо2 '
lim я (со) = - г.
СО-*оо
Поэтому условия 2, 3, теоремы 3 выполняются, если
кс3 > 0, г + к (cj - сгТ) >0, г > 0, (9.19)
§ 9.5. ПРИМЕРЫ
299
Область
Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчива при выполнении
неравенств (9.19), если нелинейность удовлетворяет условию 1 теоремы 3.
На плоскости переменных X = (с2Т - сг)к и г последние два неравенства
(9.19) образуют заштрихованную область, изображенную на рис. 9.8 (условие
кс2~> 0 выполняется всегда).
Пример 3. Непрямое регулирование двигателя с жесткой обратной связью.
Сравним частотный метод исследования абсолютной устойчивости с методом А.
И. Лурье. С этой целью рассмотрим систему непрямого регулирования
двигателя с жесткой обратной связью, описываемую уравнениями (см. пример
§ 8.5)
T0z = - k0l, Т\х + T2f + х = fejz,
(9.20)
1 = / (а), о = х - I,
где Т0, Т\, Т.2, к", к1 - положительные ^ис- 9.8
параметры.
Сначала найдем передаточную функцию от (-/) к а. Имеем ToPz = (Т\р2
+ Ttf + \)х = *!*,
pl = / (о), а = X -
Из первого и третьего уравнения найдем
s-=
1
кп
к0
Тор2
/•
Согласно второму и четвертому уравнениям, получим
koki
Т0р*(Т1Р*+Тгр + 1) Г koki
/,
1
T0p*(Tlp*±T,p+i) Р
Следовательно, передаточная функция
к[,к\
W (р) :
ТорЧТ1^ + Т2р+ 1)
имеет два нулевых полюса. Воспользуемся теоремой 3 и подчиним
коэффициенты системы условиям теоремы. После несложных преобразований
получим
кпкл
300 ГЛ. IX. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ
кок! 1
л (ю) = со Im
Т0со2 (Т\со2- 1 -
kohT 2
I.
Го[(7'^_1)2+ Г2ш2
Согласно теореме 3, для абсолютной устойчивости системы достаточно, чтобы
выполнялись условия
я > 0, р > 0, я (со) < 0 при всех со 0, lim я (со) < 0.
(0-*оо
Первое и последнее условия выполняются, очевидно, всегда. Второе условие
р > 0 будет выполнено при р<1, где и -- к11к1Тг/Т(). Третье условие
равносильно неравенству
Г^со2 + {Т\<й* - I)2 - р> 0.
Если ввести обозначения v = Г2/У2, gj2Г2 = у, то это неравенство
приводится к виду
v2y2 + (1 - 2v)y + 1 - р > 0. (9.21)
Так как условие я (со) < 0 должно выполняться при всех со > 0, то
неравенство (9.21) должно быть справедливо при всех у > 0. При v 'С Чг
средний коэффициент левой части этого неравенства будет неотрицателен при
двух положительных других коэффициентах (и <; 1). Поэтому при v V2
неравенство (9.21) будет справедливо при всех у > 0.
Пусть теперь v >V2. Корни полинома, стоящего в левой части
(9.21), определяются формулой
2v - 1 ± у[(2v - I)2 - 4v2 (1 - р)
^1,2 - 2v2
Если подкоренное выражение положительно или равно нулю, то условие (9.21)
нарушается при у = уг >• 0. В случае отрицательности подкоренного
выражения корни полинома мнимые и, следовательно, (9.21) справедливо при
всех у > 0.
Поэтому при v > Va должно выполняться неравенство
(2v - I)2 < 4v2 (1 - р), которое равносильно следующему:
JL -
й < ~ - 4V2 •
Таким образом, согласно теореме 3, область абсолютной устойчивости
системы (9.20) имеет вид
р<1 при v < 1/2,
р < 1/v - l/4v2 при v > V2
и совпадает с областью, найденной в предыдущей главе при помощи метода А.
И. Лурье (см. (8.53) и рис. 8.6).
Сравнение двух методов исследования абсолютной устойчивости, проведенное
на этом примере, показывает, что частотный метод, не изменяя области
устойчивости, более экономичен с точки зрения количества необходимых
вычислений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А б г а р я н К. А. Устойчивость движения на конечном интервале //
Итоги науки и техники. Сер. Общая механика.- М.: ВИНИТИ, 1976.- Т. 3.
2. Айзерман М. А. иГантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых
систем.- М.: АН СССР, 1963.
2а. А и а и о л ь с к и й Л. К)., Иргетов В. Д., Матросов' В. М. Способы
построения функций Ляпунова // Итоги науки и техники. Сер. Общая
механика,- М.: ВИНИТИ, 1975,- Т. 2.
3. Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы.- М.:
Наука, 1966.
4. Андронов А. А., Витт А. А. иХайкин С. Э. Теория колебаний,- 2-е изд.-
М.: Физматгиз, 1959.
5. Б а р б а ш и н Е. А. Введение в теорию устойчивости движения.- М.:
Наука, 1967.
6. Б а р б а ш и н Е. А. Функции Ляпунова.- М.: Наука, 1970.
7. Б а с и н А. М. Качка судов.- М.: Транспорт, 1969.
8. Веллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений:
Пер. с англ.- М.: ИЛ, 1954.
9. Веллман Р. Введение в теорию матриц: Пер. с англ.- М.: Наука, 1969.
10. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем.- М.:
Гостехиздат, 1956.
11. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости.-
М.: Физматгиз, 1961.
12. Б у т е н и н Н. В., Л у н ц Я. Л., М е р к и н Д. Р. Курс
теоретической механики.- Т. 2.- М.: Наука, 1971.
12а.Вектор-функции Ляпунова и их построение / Под ред. В. М. Матросова и
Л. Ю. Анапольского,- Новосибирск: Наука, СО, 1980.
13. Вышнеградский И. А. О регуляторах прямого действия //Д. К. Максвелл,
И. А. Вышнеградский и А. Стодола. Теория автоматического регулирования.-
М.: АН СССР, 1949.
14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.- 3-е изд.-М.: Наука, 1967.
