Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
нужно знать численные значения коэффициентов системы (9.12). Поэтому с их
помощью можно строить области абсолютной устойчивости, что нельзя
сделать, даже для линейного звена замыкания, применяя критерий Найквиста.
у) Случай к = оо означает, что сектор, изображенный на рис. 9.4,
образован координатными осями о, ф, т. е. полностью заполняет первый и
третий квадранты.
206 ГЛ. IX. ЧАСТОТIИЛЕ МЕТОДЫ
§ 9.5. Примеры
Пример 1 (математический). Рассмотрим сначала чисто математическую
задачу. Пусть "уравнения возмущенного движения имеют вид
Vi 4 х\ = ф (*2),
x2t2 + х2 = a:i, (9.17)
*з ~ То.
где Tj > 0 и т2 > О - постоянные времени, а функция ф (,г2) непрерывна и
удовлетворяет условию (9.13) при к = оо.
Найдем передаточную функцию от "входа" ( - ф) к "выходу" т = х2. Для
этого введем прежде всего оператор р = d/dt и перепишем систему (9.17) в
следующей форме:
[ (ЬР + 1)*г = *з - Ф (*а)>
(т2р + 1)ж2 = хх, рх3 = - х2.
Исключая из этих уравнений хг и х3, найдем
__________________________________ Р_______________________________
2 Т1Т2Р3 + (И + Т2) Р2 Г Р + 1
Следовательно, передаточная функция для данного примера равна (напомним,
что "вход" равен (-ф))
тт' м =
где
а = хгх2, р = tj + т2.
Пусть
Р > а. (9.18)
Тогда, применяя критерий Гурвица (4.30), найдем, что все полюсы
передаточной функции (корни ее знаменателя) имеют отрицательные
вещественные части и, следовательно, можно воспользоваться теоремой 1.
Составим левую часть условия (9.14). Проведя несложные преобразования,
последовательно получим (по условию к = оо)
Re [(1 + гсой) И7 (гсо)] =
(1 + гсой) гсо со2 [(йр - а) со2 + (1 - й)]
= Re 1 - Pro2 + гсо (1 - асо2) = (1 - Рсо2)2 + со2 (1 - асо2)2 '
Для выполнения неравенства (9.14) при всех со > 0 необходимо и
достаточно, чтобы число й удовлетворяло условиям
йр - а > 0, 1 - й > 0. Отсюда
а
у "XI.
Такое й найдется ввиду (9.18). Следовательно, в силу теоремы 1 область
абсолютной устойчивости системы (9.17) определяется
неравенством (9.18) или, переходя к исходным коэффициентам, условием
11 ¦ т - "> х1х2.
§ 9.5. ПРИМЕРЫ
297
На рис. 9.6 показана область абсолютной устойчивости системы (9.17) (она
ограничена прямыми = 0, т2 = О и одной ветвью
гиперболы Tj
И^-
Пример 2. Исследование устойчивости самолета с курсовым автопилотом. При
регулиро-
регулирования) на нем устанавли-
тг\
вании курса самолета (объект ваются два чувствительных элемента (Ч.Э.).
Первый (Ч.Э.1) представляет свободный гироскоп - он измеряет отклонение
самолета от курса (угол ф).
Второй чувствительный элемент (Ч.Э.И) представляет гироскопический
тахометр - он измеряет скорость изменения угла ф, т. е. ф. С помощью
потенциометров измеренные величины (ф и ф) преобразуются в
соответствующие напряжения U1 и U2, которые подаются на усилитель
(суммирующий прибор) (рис. 9.7). Усилитель
вырабатывает напряжение U, воздействующее на электродвигатель. Последний
с помощью редуктора поворачивает руль самолета (регулирующее устройство)
на угол в результате чего выравнивается отклонение самолета от заданного
курса. Одновременно
Область
абсолютной
устойчивости
!
Рис. 9.6
Рис. 9.7
угол | поворота руля регистрируется механизмом обратной связи, который
преобразует сигнал | в напряжение U3; это напряжение подается в усилитель
- см. [44].
Перейдем к составлению дифференциальных уравнений возмущенного движения
всей системы.
Уравнение отклонения самолета от заданного курса в простейших
предположениях имеет вид
Уф + ф = - kl.
Здесь Т - постоянная времени самолета, характеризующая его инерционность,
к - постоянный коэффициент, характеризующий момент сил, создаваемых
рулем.
298 гл. IX. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ
Чувствительные элементы (гироскопы с потенциометрами) практически
безынерционны, и вырабатываемые ими напряжения Г/j и Г/а пропорциональны
измеряемым величинам
U1 = иг = /с2ф.
Будем считать, что механизм обратной связи жесткий. Это означает, что
вырабатываемое им напряжение U3 пропорционально углу | отклонения руля:
U3 = к31.
Усилитель, суммируя входящие в него напряжения, дает на выходе напряжение
U, определяемое равенством
U=kiU1 + kBU2~keU3,
где /с4, /сГ) и кй - коэффициенты усиления.
Учитывая значения Г/ь U2 и U3, получим
U = сгф + с2ф - rg,
где
ci ~ к3к3, с2 = kjk^, г - к3ке.
Электродвигатель с редуктором и рулем представляют нелинейный элемент,
уравнение которого имеет вид
Перепишем полученные уравнения в виде системы, заменив предварительно U
на а:
Гф + ф = -*?,
i = /(о),
а = схф + с2ф - rg.
Передаточную функцшо от -/ к а для этой системы мы нашли в § 9.2 (см.
(9.4) и (9.5)):
Trp^^-(kc1 + r)pSrkc2 W № ~ р2 (Гр + 1)
Она имеет два нулевых полюса, и, следовательно, можно воспользоваться
теоремой 3.
Подчиним коэффициенты системы условиям 2, 3 этой теоремы, После очевидных
преобразований получим
а - lim p4V (р) = кс2,
р-0
р = Iim Ш {рЦУ ^ = г + А: (сх - сгТ), р-о "
, кс2-гТа>2 4-m (ксх-\-г) гТа>* + г -{-к (сг - с2Т) я (со) = со 1ш _
