Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
образом, при 0 < О система регулирования будет абсолютно устойчива, если
параметры системы г, Г и 0 удовлетворяют условию
(Г + f7y > 40. (8.45)
Если вместо параметра Г ввести новый параметр
? = Г + Y~r =
Vг + тг + +
(8.46)
ili \9
1,0
Область
абсолютной
устойчивости
-0,2'5 7 В Рис. 8.3
то достаточное условие абсолютной устойчивости системы при 0 < 0
принимает вид
ту" > _40. (8.47)
К этому условию необходимо присоединить общее условие (8.36). Область
абсолютной устойчивости на плоскости параметров 0 и Y изображена на рис.
8.3.
Пример. Непрямое регулирование двигателя с жесткой обратной связью. На
рис. 8.4 и 8.5 показаны принципиальная и структурная схемы непрямого
регулирования двигателя с жесткой обратной связью. Отличие от прямого
регулирования (см. пример 3 § 4.5) состоит в том, что перемещение муфты
центробежного устройства (измерителя угловой скорости двигателя)
передается на дроссельную заслонку не прямо, а через золотник
(суммирующий прибор) и сервомотор (гидравлический двигатель). Кроме того,
шток серводвигателя, воздействующий на дроссельную заслонку, связан с
рычагом жесткой обратной связи.
Перейдем к составлению уравнений возмущенного движения системы. Уравнение
двигателя было получено ранее при рассмотрении примера 3 § 4-5.
Пренебрегая моментом сопротивления М2 (со) и полагая, как и прежде, г -
со - <в0, где <в0 - угловая скорость двигателя в установившемся движении,
будем иметь
dz
Тп ЧГ = -
Здесь Т0 - постоянная времени, характеризующая момент инерции вращающихся
частей двигателя.
282 гл. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Напишем уравнение центробежного регулятора вместе с демпфером (см.
равенство (4.45)):
Tyi -\- T2i + х - kxz.
Измеритель
Рис. 8.5
Уравнение Болотника (суммирующего прибора) имеет вид а = х - ?,
а уравнение сервомотора
I - / (а).
Если ввести обозначения .г, =
Го
-j- z , х2 - х, хя = х, то уравнения движения всей системы приводятся к
виду (8.6):
= -I, *2 = "1*1 + 2а2х2 + а3хз,
*з = *2. I = / (а), а = xa - I,
§ 8.5. УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
283
где
аг ¦-
feifeo
Т\Т0'
2а" - -
гр2 * 1 1
• (8-48)
т>2 1 1
Выпишем матрицы А, Ь и с. Имеем
0 0 0 -1 0
и = Я1 2я2 яз , ь = 0 , с = 0
0 1 0 0 1
Составим уравнение (8.16) и найдем его корни: -X . О О
det (И - ХЕ) = % 2я2 - X а3
О 1 -X
^1,2 = а2 i V^a| 4" "3, Хз - 0.
- X (X2 - 2о2Х - аз) = О, (8.49)
Отсюда
^1 4" ^2 - ^а2> Х1Х2 - -я3, Xj - Хз - 2lFя^ 4- я3. (8.50) Пользуясь
формулой (8.17), составим матрицу В:
Хх 0 0
в = 0 Х2 0 .
0 0 0
Вычислим произведения ВА и ЛИ
X, 0 0 Оц Ol2 осп* X [О; | Х,0,2 X^OCls
ВА = 0 х2 о 02! O22 O23 = Х2021 Х2022 Х2СС23
ООО 031 032 (Z33 ООО
Оц 0X2 Охз | 0 0 0 fllOCl2 2atfx,i2 -р осхз
ЛН = 021 022 023 J Ях 2я2 я3 = ^1(r)22 4" ОС23
Озх O32 О33 II 0 1 0 "10^32 2аа(Хз2 -|- (Х33
Так как матрицы ВЛ и ЛИ, согласно (8.14), равны, то должны быть равны
соответствующие элементы:
Х1ОС11 - Я j О ! 2 j Х2ОС21 " Я ^С^22 ' Я1О32 = 0,
XjCti2 2язС^12 4" etj3, Х2О22 - 2я2о22 4" 033, 2я2сс;J2
0:33 = 0,
Х1ОС13 = Я3СХ22, ХзОзз = я 3^2 о, Я3О32 = 0.
Из этих девяти уравнений независимых только шесть (в каждой
группе среднее уравнение является следствием верхнего и
нижнего уравнений, а также уравнения (8.49)).
Положим ап = Я], о21 = ях, ос31 = 1. Тогда ос12 = Xlt ос13 = я3,
а,.> - Х2, 0С23 - Я3, о32 - а33 - 0 и, следовательно,
Я| X з Я3II Л = ai Х2 Я3 j"
1 о О I
284 гл. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО регулирования
Для вычисления обратной матрицы найдем Д = det А и соответствующие
алгебраические дополнения:
Отсюда
Д = det А = а3 (Хх - ^г)>
Ли = 0, Л 21 = 0, Л 31 = а3 (Я-1 -К),
Лг2 = а3, Л22 - -а3, ^32 = 0,
^13 - ^-21 ^ 23 - кг, Л зз = йх (^i - к>
0 0 1
1 1 п
А~г= - к2 кг- к2
. к2 кг ах
а3 (Хх - Я,2) аз (Ai - к2) а3 \
Непосредственной проверкой убеждаемся, что АД-1 = Е. Для перехода к
уравнениям (8.18) найдем по формулам (8.13) матрицы hag:
h = Ab
- а 1
- ai
- 1
д =* (А-1)' с-
°з (К - ^г)
^1_______________
1 (Ai - кг)
_ а' а3
Теперь можно перейти к уравнениям в переменных ult и2, и3, ст (см.
уравнения (8.18)). Имеем
^iui ~f~ / (ст)> 112 - к2и2 ]- h2f (а),
hsf (я), з = -f- g2u2 -f-
- / (я),
где кх и gji - элементы матриц hug соответственно. По формулам
(8.19) перейдем к каноническим переменным. Полагаем
Hi - ftll2 - h2Z2, 11.) - h3 ~з.
После подстановки получим канонические уравнения
Ч = Vi + / (я)- Ч = Кч + / (я). Ч = / (я)-
d = "1% -j- e2z2 -j- e3z3 - / (ст).
В этих уравнениях
ei - higi -
а{К2
е2 - h2g2 -
аз (^i - к2) ' U\h\ а3 (^1 ¦- к2) _?i_ hjkp
аз Та
(8.51)
В рассматриваемом примере п = 3 и один корень нулевой. В соответствии с
общей теорией коэффициент еп = е3 должен быть отрицательным, что и имеет
место в данном примере (с . примечание к уравнениям (8.28)).
§ 8.5. УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
285
Для получения достаточных условий абсолютной устойчивости подчиним прежде
всего параметры е1 и е2 условию (8.36):
