Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
по времени средними по ансамблю.
Мы проиллюстрировали основное содержание эргодической гипотезы на
искусственном примере "состояний одной частицы", чтобы выявить наиболее
наглядно ее сущность. Однако в действительности речь идет о состоянии
системы, состоящей из громадного числа п частиц. В этом случае ансамбль
систем, взятый в некоторый момент времени, представляет совокупность
микросостояний системы. Эргодическая
ф Постулатом равновероятности называется утверждение о равновероятности
различных микросостояний. Вероятности же различных макросостояний резко
отличаются друг от друга.
Эргодическая гипотеза утверждает, что в состоянии равновесия средняя
величина по ансамблю равна средней величине по времени.
42 I. Статистический метод
гипотеза предполагает, что в этой совокупности имеются все возможные
микросостояния системы, которые только совместимы с пространственными
возможностями движения частиц и с законом сохранения энергии (если
рассматриваются также и распределения частиц по импульсам). Любая из
систем ансамбля в течение достаточно продолжительного промежутка времени
пройдет все возможные микросостояния, причем ее относительное время
пребывания в каждом из микросостояний равно относительному числу систем в
ансамбле, находящихся в этом микросостоянии. Следствием этих двух
допущений является положение о том, что средние по ансамблю равны средним
по времени. Оно само может быть принято в качестве формулировки
содержания эргодической гипотезы.
Другими словами, эргодическая гипотеза может быть выражена в виде
утверждения, что, начиная свое движение из любого состояния, система
обязательно достигнет состояния, сколь угодно близкого к любому другому
состоянию, совместимому с законом сохранения энергии.
Оговорка о том, что система достигнет не любого возможного состояния, а
состояния, сколь угодно близкого к любому возможному, весьма существенна.
Возьмем, например, идеальный газ, для которого эргодическая гипотеза,
вероятно, выполняется, и тем не менее можно указать состояния этой
системы, которые наверняка не достигаются. Пусть газ помещен в кубический
сосуд и все частицы газа движутся параллельно одному из ребер и
распределены в пространстве так, что не сталкиваются друг с другом, а
сталкиваются последовательно лишь с двумя противоположными гранями куба.
Система в этом состоянии движения будет пребывать бесконечно долго, и не
может случиться, чтобы хотя бы одна из частиц стала двигаться не
параллельно избранной грани куба. Поскольку движение частиц управляется
уравнениями механики, которые обратимы по времени, следует, что система
не может прийти в это состояние движения из других состояний, в которых
имелись скорости частиц, не коллинеарные рассматриваемой грани куба. А
это и означает, что для системы идеального газа, которая считается
эргодической, имеются недостижимые состояния. Однако система обязательно
подойдет сколь угодно близко к этим недостижимым состояниям.
Связь постулата равновероятности и эргодической гипотезы. Если считать
эргоди-ческую гипотезу справедливой, то, пользуясь в классическом случае
теоремой Лиу-вилля, а в квантовом случае - принципом детального
равновесия, можно доказать постулат равновероятности. Однако это
доказательство выходит за рамки материала книги.
1. Какую модель расположения и движения молекул газа приходится признать,
чтобы придать определенный смысл представлению об изменении
микроскопического состояния?
2. Разъясните смысл различных формулировок эргодической гипотезы.
3. Приведите пример недостижимого для эргодической гипотезы состояния,
которое, однако, совместимо с законом сохранения энергии.
4. Каков источник трудности подсчета числа микросостояний в доквантовой
физике?
§ 5. Вероятность макросостояния 43
§ 5 Вероятность макросостояния
Определяется понятие термодинамической вероятности и на основе общей
связи между микроскопическими и макроскопическими состояниями вычисляется
вероятность макросостояния.
Выясняется связь между равновесным и наиболее вероятным макросостояниями.
Выводится биномиальное распределение и распределение Пуассона
Вероятность макросостояния. Она осуществляется посредством большого числа
микросостояний. Если известны признаки, которыми характеризуется данное
макросостояние, то можно, в принципе, перечислить все микросостояния,
совместимые с этими признаками, и подсчитать их число. Обозначим Га число
микросостояний, где индекс а характеризует макросостояние. Можно,
конечно, признак макросостояния, к которому относится Г, отличать в виде
аргумента у Г, например Г (а), или каким-либо другим наиболее удобным в
конкретных условиях способом. Обозначим Г0 общее число состояний,
достижимых для системы в соответствии с гипотезой эргодичности. Тогда на
основании постулата равновероятности для микросостояний и определения
вероятности (2.1) для вероятности рассматриваемого макросостояния
получаем
9. = Г"/Г0. I (51)
Число микросостояний Га называется также термодинамической вероятностью
