Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Биномиальное распределение. Формула (5.15а) называется биномиальным
распределением по ее связи с формулой бинома Ньютона, имеющей вид
to + рУ = д" + ТГрд"' + и("2! рУ~2 + •••
...+ + + (5.21)
Если принять во внимание (5.5), то становится очевидным, что вероятности
(5.15) совпадают с отдельными членами бинома (5.21), когда р и q
интерпретируются как вероятности. При этом р + q = 1 и формула (5.21)
превращается в условие нормировки вероятностей:
? 9(VU m) = l.
ж = 0
Зависимость @(VU т) от т показана на рис. 7 в виде сплошной кривой,
поскольку в масштабе, который приходится использовать, значения т очень
большие и отдельные точки как бы сливаются в непрерывную кривую, хотя,
конечно, это обычный результат чертежной процедуры, а отнюдь не
возможность построения непрерывной кривой из отдельных точек. Кривая
представляет собой очень высокий и узкий пик, максимум которого находится
при тмакс = n/V. Высота и ширина пика между собой связаны условием
нормировки
Am @{VU тмакс) ~ 1, (5.22)
где Ат - ширина пика.
Таким образом, вероятность того, что число частиц в объеме отклонится
даже незначительно от тмакс, совершенно ничтожна и очень быстро убывает с
увеличением отклонения. Но тем не менее число частиц не равно все время
строго тмакс, а колеблется около этой величины. Эти отклонения называются
флуктуациями.
Предельные формы биномиального распределения. При числе испытаний п-> со
распределение (5.156) стремится к предельному виду, зависящему от условий
стремления к бесконечности.
Имеются два важнейших предельных случая:
1) если п-* оо при р = const, то получается нормальное распределение (см.
§ 8);
2) если п -*• со при пр = const, то получается распределение Пуассона.
7
0>
I ______
<ni) т
7. Биномиальное распределение при больших п и (т)
§ 5. Вероятность макросостояния 53
Распределение Пуассона. Обозначим <т> среднее число частиц в объеме Vu
который рассматривался в связи с выводом формулы (5.15а). Поскольку n/V
есть средняя концентрация частиц во всем объеме, то (<m>/Vi) = n/V или
VJV = <т}/п. Подставляя это значение для VJV= р = <т}/п в (5.15а),
получаем
9"(т) = - -¦ И--
m\{n - m)l\nj\ п
Преобразуем правую часть:
9 (т\ - П(П~ 1)---(n~m + Ц "т>Г Л _ <w>
и( ' т! пш \ и
= l(l_lVl--Y.Yl т-Л"^>Г (1 - <т>/пГ
и/\ п/ \ п ) т' - (тУ/п)т
Отсюда при п-> оо получается предельная форма биномиального
распределения:
(5.23)
где учтено значение хорошо известного предела lim (1 -- | = е ".
п -" оо у Ну
Формула (5.23) называется распределением Пуассона. По ходу вывода ясен
смысл распределения: если в некотором объеме, интервале времени и т. д.
наблюдается в среднем <т> событий, то вероятность обнаружить в наблюдении
т событий равна &[т).
Применение этой формулы к расчету числа частиц в объеме Vu если известно,
что среднее число частиц о в этом объеме равно <ш), очевидно. В качестве
другого примера рассмотрим истечение газа из сосуда через небольшое
отверстие в тонкой стенке. Чтобы обеспечить независимость вылета
отдельных молекул из сосуда от судьбы других молекул, будем считать, что
вне сосуда вакуум, а внутри сосуда газ очень разреженный и молекулы
сталкиваются между собой сравнительно редко; во всяком случае, 6
отверстии при вылете из сосуда они не сталкиваются между собой. Кроме
того, чтобы обеспечить неизменность условий в сосуде при вылете из него
молекул, будем считать объем сосуда и число молекул в нем достаточно
большими, а отверстие и число вылетевших в процессе эксперимента молекул
- достаточно малыми.
Ясно, что число вылетевших через отверстие молекул пропорционально
интервалу времени. Подсчитаем число молекул, вылетающих из сосуда в
интервал времени At. Проделав достаточное число опытов, найдем это
среднее число, которое пропорционально At, т. е. имеет вид ц At, где ц
определяется условиями опыта. Спрашивается: какова вероятность того, что
при подсчете молекул в очередном интервале времени At будет найдено т
молекул? Эта вероятность дается распределением Пуассона
&(т) = ^ е""* *. (5.24)
ml
54 1. Статистический метод
Соблюдение условия нормировки распределения Пуассона следует из
очевидного равенства
уМ=е<-).
Ш!
Полезно также заметить, что при больших значениях (т> = т
^J±Y(!Lrx 1,
ml \т J \ е J
где использована формула Стирлинга т\ к (m/e)m. Это означает, что при
больших т вероятность @(т ф <т"" 0 и распределение вероятностей вблизи т
= <т> быстро убывает от своего пикового значения при т = <т>, как это
изображено на рис. 7.
Пример 5.1. В урне находится 10 белых и 5 черных шаров. Производится 5
извлечений шаров из урны, причем после извлечения шар каждый раз
возвращается обратно. Какова вероятность того, что при этом белый шар
будет извлечен 3, а черный - 2 раза?
Это типичная задача на применение распределения (5.15в). Имеем
4 (3.2) - w({fj (-и)2 =10 (1J (т)2 * °'055-
Пример 5.2. На одной из станций метро в результате длительных наблюдений
установили, что в определенный день недели в течение 5 мин с 8 ч 45 мин
