Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
вероятностей.
Для непрерывно изменяющейся величины функция распределения вероятностей в
соответствии с (2.20) выражается через плотность вероятности /(х)
формулой
(2.21)
Из (2.21) следует, что Дх) = dF(x)/dx. (2.22)
С помощью этой формулы выражения, в которые входит Дх) dx, могут быть
переписаны с учетом dF (х) = Дх) dx. Например, формула (2.18) может быть
представлена в виде
<х> = J xdF(x).
(2.23)
30 1. Статистический меч од
С учетом (2.20) и (2.21) вероятность того, что случайная величина х
принимает значение, лежащее в интервале хг <х <х2, выражается формулой
#(х1 < х < х2) = J/(*)dx = J dF (х) = F (х2) - F (xj. (2.24)
Xj *1
Пример 2.1. В урне имеется п = 30 черных и т = 10 белых шаров, в
остальном идентичных между собой. Шары хорошо перемешаны. Найти
вероятности #(ч) и #(б) извлечения черного и белого шаров из ящика при
одном испытании. Проверить выполнение условия нормировки. Найти
вероятности последовательного извлечения двух черных, двух белых, черного
и белого, белого и черного шаров, если после первого испытания
извлеченный шар возвращается в урну и если он не возвращается.
Поскольку какие-либо обстоятельства, обеспечивающие предпочтительные
условия извлечения какого-либо конкретного шара (белого или черного),
отсутствуют, вероятность извлечения при испытании для всех шаров
одинакова и равна 1 /(п + т). Следовательно, по формуле сложения
вероятность извлечения при испытании какого-либо черного шара равна
& (ч) = 1/(п + т) + 1 /(п + т) + ... + 1/(п + т) = п/(п + т) = 0,75.
(2.25а)
п раз
Аналогично, вероятность извлечения белого шара
^(б) = т/(п + т) = 0,25. (2.256)
Поскольку эти два события составляют полный набор всех возможных исходов
испытания, они должны удовлетворять условию нормировки вероятности.
Проверка этого обстоятельства служит одновременно проверкой правильности
проведенного расчета:
^(ч) + ^(б) = п/(п + т) + т/(п + т) = 1. (2.25в)
Если производится последовательное извлечение двух шаров, то возможных
исходов событий четыре: белый - белый (бб), черный - черный (чч), белый -
черный (бч), черный - белый (чб). Поскольку эти четыре исхода составляют
полный набор возможных исходов, их вероятности должны удовлетворять
условию нормировки
#(бб) + #(чч) + ^(бч) + ^(чб) = 1. (2.26)
1. Дайте определение вероятности.
2. Какое свойство совокупности событий делает возможным нормировку
вероятности?
3. Каков смысл величины, отличающей формулу сложения вероятностей в общем
случае от формулы для взаимно исключающих событий?
4. Зависит ли среднее значение от переменной, по которой производится
усреднение? Приведите примерь!, подтверждающие ваш ответ.
5. Что такое стандартное отклонение и что оно характеризует?
§ 2. Математические понятия 31
Если после первого испытания извлеченный шар возвращается в урну, то
вероятность извлечения шара определенного цвета при втором испытании
такая же, как и при первом. Следовательно,
% (б) = (б) = п/(п + т) = 0,75; % (ч) = (ч) = т/(п + т) = 0,25.
(2.27)
Вероятность исхода второго испытания не зависит от результата первого
испытания, т. е. события первого и второго испытания независимы. Поэтому
для вероятности исхода двух последовательных испытаний по формуле
умножения вероятностей получаем:
#(бб) = #1 (6)^2 (б) = [п/(п + т)]2 = 0,5625; #(чч) = (ч) 92 (ч)
= [т/(п + т)]2 = 0,0625;
#(бч) = &i (б)^2(ч) = [и/(и + т)] [т/(п + т)] = 0,1875;
#(чб) = 91 (ч)^2(б) = [т/(п + т)] [п/(п + т)] = 0,1875.
Условие нормировки имеет вид
( п Y+(
\п + т J у
Если после первого испытания извлеченный шар не возвращается в урну, то
результат второго испытания зависит от того, что произошло при первом
испытании, т. е. во втором испытании мы имеем дело с условной
вероятностью. При первом испытании вероятности извлечения белого и
черного шаров, так же как и в предыдущем случае, задаются формулами
(2.25а) и (2.256). При втором испытании условия изменяются. Если в первом
испытании был извлечен белый шар, то вероятность извлечения белого шара
при втором испытании
§2 (б/б) = (п - Щп + m - 1) = 0,744, (2.28)
поскольку при вторим испытании в урне находится всего п + т - 1 шаров и
из них п - 1 белых. Аналогично, условные вероятности других исходов
второго испытания задаются формулами
92(ч/ч) = (т - 1)/(и + т - 1) = 0,310; 92(б/ч) = п/(п + т - 1) = 0,769;
§> 2(ч/б) =
= т/(п + т - 1) = 0,256.
Условные вероятности при втором испытании не удовлетворяют условию
нормировки, потому что соответствующие события не являются взаимно
исключающими. Например, белый шар может быть вынут как после черного
шара, так и после белого, и т. д.
Вероятность того, что будет последовательно вынуто два белых шара, в
соответствии с формулой (2.11) равна
^(бб) = 91 (б) 9г(б/б) = | = 0,75-0,744 = 0,558.
Аналогично,
#(чч) = 9х (ч) &2 (ч/ч) = [т/(п + т)] [(#и - 1)/(и + т - 1)] = 0,25-0,310
= 0,0775;
^(бч) = % (б) f2 (ч/б) = [п/(п + m)] [т/(п + т - 1)] = 0,75 • 0,256 =
0,192;
%б) = % (Ч) (б/ч) = [т/(п + т)] [п/(п + т - 1)] = 0,25 - 0,769 = 0,192,
