Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
заблуждение названия таково. Для ионных кристаллов типа NaCl (г=2)
условие ортонормированности (2.1.27а) для случая к=0 может быть записано
в векторной форме следующим образом:
*(+1?М+1/)+*Н?)-*Н/)-0' <2ЬЗЗ>
где знаки плюс и минус относятся к щелочному и галоидному ионам
соответственно, индекс / относится к любой из акустических ветвей, а
индекс /' - к одной из оптических ветвей. Это соотношение вместе с
равенством (2.1.32) дает
е(+1?),Н+|/) + /^7е(~1/)]=0- (21>34)
Случай е(+|у)=0, как и при обсуждении уравнения (2.1.31), мы не
рассматриваем, так что либо
е(+1!!)4еНЛ+/1?еН/)]' <2Л-35а>
либо
У^ГГе(-ь|^) = - V^WTe(-| (r)). (2.1.356)
Первая из этих возможностей должна быть отброшена, поскольку из
соотношения (2.1.35а) следует ортогональность вектора, стоящего в правой
части, ко всем трем (некомпланарным) векторам поляризации акустических
колебаний для каждого /'. Соотношение же
(2.1.356) с помощью векторов смещений может
быть записано в виде
^M(!|/) + ^-u(i|(r))=0. (2.1.36)
32
Глава И
Это условие означает, что два иона в каждой элементарной ячейке
колеблются в противофазе, причем центр масс ячейки остается неподвижным.
Поскольку рассматриваемые ионы имеют заряды противоположных знаков, такие
колебания создают переменный результирующий дипольный момент кристалла,
который может взаимодействовать с внешним электромагнитным полем. Это
послужило причиной того, что такие колебания были названы оптическими.
Из соотношения (2.1.356) вытекает, что в кубическом кристалле предельные
значения частот всех трех оптических ветвей при к->0 совпадают. Из
(2.1.26) и (2.1.27а) мы получаем, что для оптической ветви
(c)2, (0) = 2 ев (х I/) ^ар(кк') е& (*' (/)• (2.1.37)
О, X
В, х'
С помощью формул (2.1.356) и (2.1.126) можно преобразовать соотношение
(2.1.37) к виду
^.(0) = 2{<(+|/)е"(+|/)+<(-|/)е"(~|/)}Х Ф"к+^ + Ф"тГ--!¦ (2Л38)
I. в
х
При написании равенства (2.1.38) мы использовали соотношение
ЕМ-У-'-ЕМ")- <21Ж1>
которое является следствием предположения о кубической симметрии. Более
того, в случае кубических кристаллов сумма в правой части (2.1.39) не
зависит от а. Таким образом, поскольку мы предположили кубическую
симметрию, равенство (2.1.38) приводится к виду
Основы теории динамики решетки
33
где правая часть не зависит от /'. Этот результат мы можем записать также
в виде
(r)5,(0)=jSp[Da3(4(r),)]. (2.1.41)
Так как мы не делали никаких предположений относи* тельно радиуса
действия межатомных сил, то соотношение (2.1.41) справедливо и для ионных
кристаллов при условии, что размеры кристалла остаются конечными [13-15].
Как мы только что видели, в пределе бесконечно длинных волн атомы в
элементарной ячейке при акустических колебаниях движутся в фазе и с
нулевой частотой. Для очень малых, но конечных значений волнового вектора
к этот вывод по-прежнему остается в силе, т. е. смещения атомов в
элементарной ячейке приблизительно равны и три соответствующие частоты
малы для рассматриваемого значения к. Эти низкочастотные колебания
соответствуют звуковым волнам в кристалле. Частоты звуковых волн в
твердом теле определяются макроскопическими упругими постоянными твердого
тела. Частоты всех колебаний в кристалле определяются
атомными силовыми постоянными ФврЦ Следо-
вательно, должны существовать определенные соотношения между IM1 "¦)} и
упругими постоянными
\cijki). Эти соотношения можно получить, рассматривая уравнения движения
при к-"0 и сравнивая их с соответствующими уравнениями теории упругости.
В случае решеток общего вида, в которых существуют оптические колебания,
необходимо использовать теорию возмущений, взяв в качестве невозмущенного
решение уравнения (2.1.26), соответствующее нулевой частоте. Это было
сделано Борном [Э]. Ниже мы приведем лишь схему этого рассмотрения.
Чтобы упростить последующие вычисления, удобно
ввести вектор w (х | у) и матрицу . определив
3 Зак. 1491
34
Глава 11
их следующим образом:
* ("* |5) - w (х |5) expISnlfc • ж(х)].
Сар Ц,) = ехр [- 2л/к • (х (к) - х (х/))] Daв( ). (2.1.42)
Уравнения движения (2.1.26), записанные с помощью этих величин, принимают
вид
<"5(к)",,(><|5)= 2 (2.1.43)
X', р
Мы хотим найти решения этих уравнений для малых к и для таких частот
toj(k), которые обращаются в нуль при к=0. Заменим поэтому к на ек, где е
- формальный параметр разложения, который в конце вычислений будет
положен равным единице, и разложим все величины, входящие в уравнение
(2.1.43), по степеням е до второго порядка включительно:
с"р Ц,) = eg (XX') + и 2 с$. v (XX') ky +
v
+ Тс2?с$, ^(ххОМи+ • • •. (2.1.44а)
v.
дав(х |5) = ^а0) (х 15)-Ь/e-au<t1)(х |5)+yeM2)(x |у) +
(2.1.446)
(c)j (к) = ш<;' (к) + \ eV/> (к) + .... (2.1.44в)
Коэффициенты в разложении (2.1.44а) имеют следующий вид:
<2>45а)
(2Л'45в)
ей. ч>. <**')=- S ф"<> ("I' )¦'¦' (L')х>- (*"¦) •
(2.1.45в)
Основы теории динамики решетки
35
Если подставить выражение (2.1.44) в уравнение (2.1.43) и приравнять
коэффициенты при одинаковых степенях е в правой и левой частях, то мы
