Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
вывод практически каждого результата, для которого наличие поверхности не
существенно. С помощью этих условий удобно
>) Более целесообразно было бы называть периодические граничные условия
циклическими, и наоборот. Периодические граничные условия в том виде, в
котором онн сформулированы выше, соответствуют циклической решетке, в то
время как циклические граничные условия соответствуют бесконечно большой
периодической решетке. - Прим. ред.
42
Глава II
нормировать на конечный объем потенциальную и кинетическую энергии всего
кристалла.
Применительно к компонентам вектора смещения, определенного формулой
(2.1.21), циклические граничные условия означают, что
g2nlk -la| - g2nlk .?a2 = gixlV. -Ltt, __ J. (2.2.2)
Определяемые этими условиями возможные значения волнового вектора к
удобно записать, используя понятие обратной решетки Гиббса, которая
впервые была применена в физике кристаллов Эвальдом [19, 20]. Векторами
основных трансляций обратной решетки являются три (некомпланарные)
вектора bi, b2, Ь3, определяемые равенствами
Sf ¦ by = 6у. (2.2.3а)
Явное выражение для векторов bj имеет вид
Ь'=~
Ь,= . (2.2.36)
где va = a1- (а2 X а3) - объем элементарной ячейки основной решетки.
Вектор обратной решетки определяется формулой
** (А) = Aibj + Ajbj+АзЬз" (2.2.4)
где ht, А2, h3 - произвольные целые числа, положительные, отрицательные
или нули. Скалярное произведение вектора решетки на вектор обратной
решетки в силу равенства (2.2.3а) равно целому числу:
х (/) • т (А) = /[Aj -J- /2А2 -1- /3А3. (2.2.5)
Используя этот результат, мы находим, что вектор к, удовлетворяющий
условию (2.2.2), может быть представлен в виде
к = 4- т (А) = 41-Ь! + -Г Ь*+Х Ьз- (2.2.6а)
Основы теории динамики решетки
43
Однако теперь значения целых чисел ht не произвольны. Из формул (2.1.21)
и (2.2.5) мы видим, что если к вектору к добавить любой вектор обратной
решетки т(А),
то величины не изменятся. Следовательно, для
того чтобы получить все различные решения нашей задачи, можно
ограничиться значениями вектора к в пределах одной элементарной ячейки
обратной решетки
k = 4Lbi + T'b2+-rb3' Ai* А2* Аз=1. 2, L.
(2.2.66)
Таким образом, существует L3 = N возможных значений вектора к. В
большинстве расчетов, однако, точные значения вектора к несущественны;
важно лишь то, что эти значения распределены равномерно (и плотно) с
плотностью, равной Q=L3ai* (а2Ха3), т. е. равной объему кристалла.
Важным следствием такого равномерного и плотного распределения допустимых
значений вектора к является возможность рассматривать к, если это удобно,
как непрерывную переменную, заменяя суммирование по к интегрированием
согласно правилу
(2.2.7а)
к
Здесь v - объем элементарной ячейки обратной решетки, интеграл берется по
одной элементарной ячейке. Однако поскольку v - v~l, где va-объем
элементарной ячейки решетки, то правило (2.2.7а) может быть записано в
виде
2 = Q fcPk. (2.2.76)
k
Определение элементарной ячейки гранецентриро-ванной кубической решетки с
помощью векторов
а, = -^(0, 1, 1), а2 = -^(1, 0, 1), а3 = -у(1, 1, 0),
где ао - постоянная решетки, не отражает явно кубической симметрии
решетки. Аналогично выбор элементарной
44
Глава И
ячейки в пространстве обратной решетки как области, содержащей все
допустимые значения векторов к, обычно не отражает свойств симметрии
обратной решетки. Выбрать в пространстве обратной решетки такой объем, в
котором будут расположены все допустимые значения вектора к и который
будет явным образом отражать симметрию обратной решетки, можно следующим
образом. Проведем из начала координат обратной решетки векторы во все
узлы решетки и построим плоскости, перпендикулярные к этим векторам и
проходящие через их середины. Можно показать, что ограниченная этими
плоскостями наименьшая часть пространства, содержащая начало координат,
полностью эквивалентна элементарной ячейке в том смысле, что каждый
допустимый вектор из элементарной ячейки отличается от соответствующего
вектора получившегося симметричного многогранника на вектор обратной
решетки. Симметричный многогранник, построенный таким образом и
содержащий все допустимые векторы к, называется первой зоной Бриллюэна
обратной решетки *).
Выбор первой зоны Бриллюэна в качестве области допустимых значений
вектора к обладает тем преимуществом, что если мы учтем точечную
симметрию обратной решетки, то при вычислении любой функции f(к),
обладающей такой же симметрией, нам надо будет рассматривать лишь
значения вектора к, лежащие в небольшой части всей зоны (в неприводимом
элементе) .
Значение функции /(к) для векторов к, не принадлежащих неприводимому
элементу, можно получить, используя соответствующую операцию симметрии,
при помощи значений функции /(к) для точек неприводимого элемента. Для
кубических кристаллов объем неприводимого элемента составляет '/м объема
всей зоны
') Строго говоря, построенная таким образом зона Бриллюэна отличается от
зоны, используемой в зонной теории металлов, масштабным множителем 2л (в
