Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
ф=ф0+ ?
I, х,а
0
Вследствие инвариантности потенциальной энергии относительно вращений
кристалла как целого мы должны
24
Глава II
приравнять нулю коэффициенты при (c)аэ = - (c)эа > и, таким образом,
получим,что
SMiKW-SMJWJ)- (2ЛЛ5)
I, ус I, х
Подставляя (2.1.14) в (2.1.13), найдем
Однако величина должна преобразовываться
при вращении кристалла как целого как а-комлонента вектора, т. е.
р
Сравнивая эти два выражения, мы приходим к соотношению
I'.x'.P (5
V
Приравнивая коэффициенты при (c)аз в обеих частях этого равенства, находим
= (2Л.16)
где мы использовали условие (2.1.126), чтобы сделать правую часть
полученного соотношения не зависящей от выбора начала координат.
Симметрия и структура кристалла также налагают ограничения на атомные
силовые постоянные [6, 357]. Наиболее общая операция симметрии,
приводящая к сов* мещению кристалла с самим собой, может быть записана
(см. [358]) в виде
[S|v(S) + x(m)}x(') = Sx(') + v(S)+x(/TO=x(?).
(2.1.17)
Основы теории динамики решетки
25
Здесь S - вещественное ортогональное матричное (3X3) представление
операции вращения, которая является одной из операций точечной группы
кристалла (т. е. кристаллического класса). Вектор v(S) описывает смещение
кристалла на расстояние, составляющее некоторую долю элементарной
трансляции. Он не равен нулю лишь в том случае, когда среди элементов
симметрии кристалла имеются винтовые оси и плоскости скольжения.
Последнее равенство в (2.1.17) отражает тот факт, что поскольку операция
{S|v(S) +х(/п)} относится к числу тех, которые совмещают кристалл с самим
собой, то вектор, характеризующий положение атома(^j,
в результате преобразования перейдет в вектор, характеризующий положение
другого атома, который мы обозначим . В дальнейшем мы будем использовать
для
удобства заглавные буквы при обозначении положений, которые занимают
атомы после преобразования (2.1.17). Потенциальная энергия кристалла,
атомы которого произвольным образом смещаются из своих положений
равновесия, должна быть инвариантна относительно операции симметрии
(2.1.17), т. е.
• (...,(')+*.Ц)...)-ф (...х(')+"(')...).
(2.1.18)
Если разложить обе части этого равенства в ряд по степеням амплитуды
смещения и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях, то мы
получим, что атомные силовые постоянные подчиняются следующим правилам
преобразования:
Ф"(?) = 25"*'Мх)' (2.1.19а)
и
[к К') ~ 1\. (2.1.196)
HV
Силовые постоянные в этих соотношениях одни и те же, поскольку они
являются коэффициентами разложения потенциальной энергии кристалла в ряд
по степеням смещений из эквивалентных положений равновесия
26
Глава II
Если операции симметрии, применяемые к кристаллу, ограничены теми,
которые оставляют неизменным положение атома (*),то соотношение (2.1.19а)
дает систему уравнений, из которых можно определить независимые, не
равные нулю элементы тензора 1-го ранга Ф"Щ.
Аналогичным образом, если мы ограничиваемся операциями симметрии, которые
оставляют фиксированными
11\ Iv \ г
положения I х 1 и 1,1 или меняют их местами [см.
(2.1.9)], то соотношение (2.1.196) позволяет определить независимые, не
равные нулю элементы тензора второго
ранга Фоз(1 М. Следует также отметить, что из
\К л /
(2.1.19) вытекают соотношения (2.1.10), если операция симметрии (S|v(S)
+x(m)} является чистой трансляцией {I|х(т)}, где I - единичная квадратная
матрица 3x3.
В частном случае, когда полная потенциальная энергия представляет собой
сумму энергий парных взаимодействий всех атомов в решетке, причем
взаимодействие каждой пары атомов описывается потенциальной функцией фхх,
(г), зависящей только от расстояния между атомами, атомные силовые
постоянные принимают вид
Ml,"')-"• =ф<*("'я)' Р-1-*"
XX'
Уравнения движения (2.1.8) представляют собой бесконечную систему
линейных дифференциальных уравнений. Решение этой системы упрощается,
если учесть периодичность решетки и соотношение (2.1.10), являющееся
следствием этой периодичности. Действительно, если мы будем искать
решение системы (2.1.8) в виде
Ua ( *) = у|=г Иа (*) ехр [- Ш + 2nik • х (/) ], (2.1.21)
где величины и"(х) не зависят от I, и подставим это выражение в уравнение
(2.1.8), мы найдем
(r)2и" (к)= 2 Ц') "э(х/)> (21-22)
Основы теории динамики решетки
27
где
причем здесь мы использовали соотношение (2.1.10). Таким образом, мы
свели задачу решения бесконечной системы уравнений к задаче решения
системы Зг линейных однородных уравнений относительно Зг неизвестных
ыв(и). Возможность такого упрощения является следствием соотношения
(2.1.10), вытекающего из периодичности решетки. Действительно, если бы
коэффи-
висели бы от /. Вектор к в показателе экспоненты выражения (2.1.21)
называется волновым вектором. В теории колебаний упругой среды величина
этого вектора обратно пропорциональна длине волны, распространяющейся в
упругой среде, а направление его совпадает с направлением распространения
волны. Как мы увидим, этот вектор имеет такой же смысл в теории колебаний
