Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
строк и двух столбцов, и, следовательно, число собственных значений в
любом интервале не может измениться более чем на 4, т. е. на величину,
пренебрежимо малую для рассматриваемой задачи.
Частицы в квадратной решетке A'XN, в которой взаимодействуют ближайшие и
следующие за ними
48
Глава II
соседи, могут быть разделены на две группы - группу внутренних частиц
числом (N - 2)2 и группу граничных частиц числом (4N- 4). Внутренним
частицам можно приписать индексы 1,2,..., (N - 2)2, а внешним (N - 2)2+1,
... , N2. Уравнения движения для всех внутренних частиц будут иметь один
и тот же вид.
В этом случае динамическая матрица может быть записана как
где величины Mi{ представляют собой совокупность матричных элементов
взаимодействия между внутренними частицами, М{ь и Мы - между внутренними
и граничными частицами и МЬь - между граничными частицами. В случае
граничных условий Борна - Кармана соответствующая матрица будет иметь вид
т. е. будет отличаться от матрицы (2.2.12) элементами 2(4# - 4) строк.
Следовательно, число частот нормальных колебаний внутри данного интервала
частот может увеличиться или уменьшиться не более чем на 16(N-1), в то
время как число частот будет порядка 2N2. Таким образом, при увеличении N
до бесконечности доля смещающихся частот пренебрежимо мала и в пределе N-
*¦00 распределение частот не зависит от выбора граничных условий.
Даже при большем (но конечном) радиусе действия межатомных сил толщина
граничного слоя не зависит от N, так что число строк матрицы (2.1.12),
изменяющихся при переходе к периодическим граничным условиям, будет все
же порядка N.
В общем случае, если межатомные силы отличны от нуля лишь для конечного
числа соседей, влияние конкретных граничных условий будет пренебрежимо
мало при условии, что отношение числа атомов кристалла к числу атомов на
его поверхности будет велико. Случаи, когда это условие не выполняется,
будут рассмотрены
Основы теории динамики решетки
49
в гл. VI. Важно отметить, что теорема Ледермана не оправдывает применения
граничных условий Борна - Кармана для решетки с дальнодействующими силами
взаимодействия, охватывающими все атомы. В самом деле, при выборе
соответствующих сил в моделях с дальнодействием и с граничными условиями
Борна - Кармана возникают большие трудности [14].
Введя циклические граничные условия, мы заменили бесконечный кристалл
заполняющим все пространство набором макрокристаллов, каждый из которых
содержит N элементарных ячеек и может рассматриваться как физический
кристалл, динамические свойства которого мы изучаем. Таким образом, мы
получили возможность нормировать на конечный объем величины, относящиеся
ко всему кристаллу, и выяснили, что волновой вектор к может принимать
лишь конечное число дискретных значений. В заключение этого параграфа мы
используем полученные результаты для вывода свойств динамической матрицы,
которые будут весьма полезны в последующих приложениях теории. Эти
свойства выражаются следующими равенствами:
ЕЧМ""')Г= S [Mi)L-2*"-
к к, а, х хх к,}
(2.2.14)
Эти соотношения получаются из уравнения (2.1.26), которое мы запишем в
матричном виде
De = (c)2e. (2.2.15)
Применяя формулу (2.2.15) несколько раз, получаем
Dne = (o2/,e. (2.2.16)
Соотношения (2.2.14) непосредственно вытекают из инвариантности следа
матрицы относительно ортогональных преобразований. Эти соотношения
представляют собой частный случай теоремы, приведенной Борном [25],
которая гласит, что если функция f(x) может быть разложена в степенной
ряд
/М = 2"/ (2.2.17)
4 За". 1491
50
Глава U
по положительным и отрицательным степеням, то
SSp/(D) = Sf("5(k)) (2.2.18)
к к> У
при условии, что величины лежат в пределах
круга сходимости ряда (2.2.17).
Этот результат наиболее важен для вычисления термодинамических свойств
твердых тел. В частности, так называемые четные моменты функции
распределения частот, которые определяются соотношением
^ = wSa2/(k)> (2.2.19)
k,J
можно выразить, используя формулу (2.2.14), в виде
(2.2.2°)
к
В заключение заметим, что, комбинируя соотношения (2.1.196), (2.1.23) и
(2.1.42), легко можно получить правило преобразования для
модифицированной динамической матрицы С (к) при действии операции
симметрии (2.1.17). Это правило имеет вид
Сар ( ^ С(IV (д-д-rj S^aSy#. (2.2.21)
(IV
Если ограничиться теми операциями симметрии, для которых Sk = k (т. е.
группой симметрии волнового вектора к), то из (2.2.21) можно получить
независимые, не равные нулю элементы матрицы С (к). Этот результат
полезен лишь в том случае, когда вектор к лежит вдоль оси симметрии или в
точке симметрии в зоне Бриллюэ-иа. Для произвольной точки внутри зоны
единственным элементом вращательной симметрии является поворот на 360° и
в этом случае из соотношения (2.2.21) нельзя получить никаких сведений
относительно С (к). Если вектор к лежит на границе зоны Бриллюэна, мы
можем получить информацию о структуре матрицы С (к), ограничиваясь теми
