Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
Нет сомнения, что Гамильтон ясно представлял себе все свойства модели
связанных осцилляторов, в частности различие между групповой и фазовой
скоростями. Распространением своих исследований одномерной решетки на
другие случаи Гамильтон занимался очень мало. Он лишь рассмотрел
одномерную решетку, в которой взаимодействуют, кроме ближайших, и
следующие за ближайшими соседи, и двумерную квадратную решетку, в которой
взаимодействуют лишь ближайшие соседи. В последнем случае он нашел точное
решение задачи в интегральном виде, но совсем не исследовал
Основы теории динамики решетки
67
его. Работы Гамильтона в этой области представляют собой в целом изящное
математическое исследование решения системы (2.4.1), но они не получили
должной оценки, так как только очень небольшая их часть была опубликована
им при жизни.
Физическое значение математических результатов было, пожалуй, лучше всего
объяснено лордом Кельвином в его "Популярных лекциях" и "Балтиморских
лекциях" [32]. В них Кельвин обратил особое внимание на свойства решетки
поглощать и пропускать волны и предположил, что некоторые оптические
явления можно объяснить при помощи таких механических моделей. Так,
например, Кельвин связал явление фосфоресценции с кинетической энергией
частиц, которые колеблются с частотой, превышающей максимальную. Объясняя
дисперсию, Кельвин рассмотрел также свойства решетки с частицами разной
массы. В этой части математические результаты носят предварительный
характер, и "Балтиморские лекции" представляют собой скорее ряд
рассуждений количественного характера. Интересно отметить, что Кельвин
хотел рассматривать трехмерные решетки, хотя он исследовал существенно их
одномерные свойства. Кельвин рассмотрел также двухатомные решетки и
получил запрещенную полосу в дисперсионных формулах. Винсент [39]
построил механическую модель связанных масс, чтобы проверить и
проиллюстрировать результаты теории дисперсии Кельвина.
Проводились, конечно, и исследования, не связанные непосредственно с
колебаниями решетки, но результаты которых представляют большой интерес в
динамике решетки; например теорема Бернулли о координатах нормальных
колебаний, исследования Лагранжа об одновременной диагонализации матриц
квадратичных форм, более глубокие исследования Якоби [40] и Сильвестра
[41] о связи преобразования к нормальным координатам с теорией
положительно определенных квадратичных форм и общие теоремы Релея [42] о
влиянии связей в колеблющейся системе на частоты нормальных колебаний.
Последняя работа очень важна для понимания того, как влияют дефекты на
колебания решетки, и
5*
68
Глава //
она будет подробнее обсуждаться в последующих разделах.
В 1907 г. Эйнштейн [43] опубликовал работу, в которой он показал, что
можно получить температурную зависимость теплоемкости, если рассматривать
твердое тело как совокупность невзаимодействующих гармонических
осцилляторов. Эта работа породила целую серию исследований, в которых
рассматривались более сложные модели с целью улучшения количественного
согласия с экспериментальными данными при низких температурах.
Дебай [1] в 1912 г. использовал модель твердого тела как упругой среды
для того, чтобы определить допустимые частоты колебаний. Одновременно
Борн и Карман [18] опубликовали свои исследования дисперсионных формул и
спектра частот простых кубических решеток. Они показали, что с помощью их
моделей можно получить весьма хорошие количественные результаты. Однако
модель Дебая приводила к гораздо более простым результатам, и поэтому
около 20 лет модель Борна и Кармана оставалась в тени.
Борн и Карман рассмотрели одномерную решетку, в которой взаимодействуют
лишь ближайшие соседи, и трехмерную кубическую решетку, в которой
взаимодействуют ближайшие и следующие за ближайшими соседи. Для этих
случаев они получили дисперсионные формулы и показали, каким образом
можно связать силовые постоянные, входящие в их уравнения, с получаемыми
из эксперимента упругими постоянными. Далее, они рассмотрели случай
двухатомной решетки и получили для нее дисперсионные формулы. В
одномерном случае им удалось найти выражения для спектра частот g(a).
Функция g(co) определяется таким образом, что величина g(<o)d(o
представляет собой долю нормальных колебаний, частоты которых находятся в
интервале (ю, ю+йсо) в пределе при dco-*0. Для решеток с размерностью
больше единицы (т. е. для двумерных и трехмерных решеток) Борн и Карман
не смогли выразить спектр частот через дисперсионные формулы. Фактически
первое решение этой основной проблемы динамики решетки было получено лишь
спустя 35 лет,
Основы теории динамики решетки
69
хотя соотношения вида
"M-fcfrSJJ |^w| ¦ (2-4.7)
где интегрирование производится по поверхности постоянной частоты to2 =
coj (к), уже были известны из других задач, главным образом в электронной
теории металлов [44].
Временная зависимость движения линейной цепочки, столь детально
исследованная в записных книжках Гамильтона, была затем рассмотрена в
