Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
где
а2(к) = ^|11, (2.3.28)
а Н"(х) есть полином Эрмита порядка п. Соответствующие уровни энергии
определяются формулой
ЕП} (к) = [nj (к)+haj (к), (2.3.29)
где П](к) может быть любым целым числом 0, 1, 2... .
Для нас более существенно знание матричных элементов операторов и
p{j^> вычисленных с вол-
новой функцией вида (2.3.27)
{n\q\n') = (А)'Л {(Л + 1)'Л бя., л+1 + бя..}.
(п\р\ п') =-/ { (л + 1)'/* 6Л., л+1-л'/j Ьп>, П-1 }• (2'3,30)
60
Глава II
Аналогичные результаты можно получить и в представлении, определяемом
формулами (2.3.14) и (2.3.15).
Преобразуем, наконец, оператор Гамильтона (2.3.13) к виду, особенно
удобному для квантовомеханического рассмотрения задачи динамики
кристаллической решетки. Вид решений уравнений движения (2.3.13) для
комплексных нормальных координат
"(^Kkr(r))+(c)j
а(г°)
+
Р(^)=^К;0)4
to; (к) '(г")
,-iaj (к)
(2.3.31а)
to; (к)
."(! = <>)
toy (к)
(И1
е1<Л1{ки
to; (к)
(2.3.316)
где Q и Р рассматриваются сейчас как квантовомеханические операторы,
наводит на мысль, что мы можем
перейти от операторов Q(5) и ^(у) к ДРУГИМ операторам a^j и akJ, которые
определяются соотношениями
^(у)~(2ыу(к)) К-к; + ак}]'
(2.3.32)
Выбранные в таком виде операторы Q(5) и ^*(у) ав
томатически удовлетворяют условиям (2.3.2). Выража" операторы а^} через
операторы Q и Р
и используя соотношения коммутации (2.3.21) для последних, мы получим для
операторов а следующие пра-
Основы теории динамики решетки
61
вила коммутации:
[акр ак,г] = А (к - к') Ь]у,
["*. "г,. М"^,о.
Таким образом, операторы а можно рассматривать как операторы Бозе.
Матричные элементы операторов а в представлении, определяемом формулой
(2.3.27), можно получить, используя формулы (2.3.33), (2.3.17) и
(2.3.30). Они имеют вид
= (2.3.35,
(п I а I п') = (п 1) А6"', л+1,
и отсюда следует, что операторы а* и а можно рассматривать как операторы
рождения и уничтожения соответственно.
Оператор Гамильтона принимает особенно простой вид, если его записать с
помощью операторов а
Я= ^ b<*j (k) [a-kJakj +1]. (2.3.36)
к J
Собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона (2.3.36)
можно написать сразу. Так как любое стационарное состояние абсолютно
упругого кристалла полностью определяется заданием 3rN квантовых чисел
{flj(k)}, то формально мы можем записать волновую функцию такого
состояния в виде 4f({/tj(k)}).
Тогда из формул (2.3.35) для матричных элементов
следует, что оператор будет диагонален, т. е.
</"*/*({*;<">}) = ¦"у"?({",(к)}> (2-3.37)
где /tj(k) - целое положительное число или нуль, причем такое целое число
существует для любого индекса
Отсюда мы видим, что ^({пДк)}) есть собственная
62
Глава 11
функция оператора энергии
т ([п} (к)}) = ?{я}? ([п, (к)}), (2.3.38)
где
Е[п) = ^ (к) [п} (к) -+-J]. (2.3.39)
к J
Таким образом, собственная функция стационарного состояния 'У ((rtj(k)
определяется заданием для каждого колебания ^j числа квантов nj(k) с
энергией
A(Oj(k). Эти кванты называются фононами: название это было, по-видимому,
введено Таммом [29, 30]. Любое колебание может иметь произвольное число
квантов. Энергия основного состояния системы, в котором все rtj(k)=0,
называется нулевой энергией кристалла. Она равна
?" = jS/to'OO- (2.3.40)
к J
Из вида матричных элементов (2.3.35) можно заключить, что действие
операторов и akJ на функцию ^ ({"j (к)}) состоит в следующем:
а1]У(п] (к); {"г (к')}) =
= \п}(к) 1 ],/jЧ*'(tij(к) -J-1; {/г,-(к')}),
^^("у(к): [пг(к')}) = = [лу(к)1,АУ(лу(к)-1;{лг(кО}).
Поэтому если бесфононное состояние Чг({0}) обозначить через |0), то
нормированную функцию n-фононного состояния можно записать в виде
*"",""- (Д <¦* W) г* • • • "vjo),
(2.3.42)
Основы теории динамики решетки
63
где я^(к,) есть число индексов типа i в последовательности kiju к2/2,
, к"/", причем 2 nj (к<) = л.
Преобразование, описываемое формулами (2.3.32), лежит в основе работы
Ван-Хова [31], в которой ангармонические свойства твердых тел
рассматриваются с точки зрения задачи многих тел.
§ 4. Исторический обзор
Ранний и весьма ощутимый успех ньютоновской механики привел к тому, что
почти все физические явления стали объяснять при помощи механических
моделей1). Одной из самых распространенных механических моделей была
модель решетки, состоящей из материальных точек, соединенных определенным
образом при помощи абсолютно упругих пружин. Первое упоминание об этой
модели можно найти в ньютоновских "Principle", и в дальнейшем она
неоднократно обсуждалась в связи с задачей о колебаниях струны, в теории
дисперсии света и, наконец, наиболее успешно в связи с квантовой теорией
теплоемкости твердых тел. Первые исследования модели решетки были связаны
с конкретными физическими задачами; позднее было замечено, что общие
свойства волн, распространяющихся в периодических структурах,
представляют интерес для различных областей физики и что они сами по себе
заслуживают специального исследования. Такое исследование было блестяще
