Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
положение х = х2 достигается за бесконечное время. Мы имеем дело в
последнем случае с асимптотическим движением: точка асимптотически
приближается к положению х = х2.
Различный характер движения в случае простого и кратного корня поясняет
следующий простой пример.
Пусть
Ф (х) = (а - х)2 (х - а - двукратный корень). Здесь интеграл
а а
/dx Р dx
V Ф (х) J а-х
О О
логарифмически обращается в бесконечность. Пусть теперь
Ф (х) = а - х
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
77
<(х = а- простой корень). Тогда интеграл
а а
Г dx Г dx
J ^ Ф М J ^ а ~ х
О О
¦конечен.
Если dx/dt < 0 и происходит движение в обратную сторону, то можно
высказать аналогичные утверждения.
Пусть корни х = хг и х=х2-простые. Точка достигает положения х = х2 за
конечное время. Что произойдет в точке х = х2? Скорость здесь равна нулю.
Найдем ускорение:
/(х) = - F' (х) = ф' (х).
Но в случае простого корня
Ф(х) = (х2 - х^'Сх),
где W(x2)>0 и, следовательно,
f(x,2) = Ф' (х2) = - W (х2) < 0.
Таким образом, ускорение в положении х = х2 отрицательно^ а значит, по
достижении положения х = х2 возникает движение в обратном направлении.
Материальная точка пробегает затем все положения со скоростью,
совпадающей с прежней по абсолютной величине, но с обратным знаком. Легко
видеть, что движение при этом периодическое.
Итак, мы получили следующий замечательный результат. Если Ф(х) не имеет
корня, то движение непременно присходит в одном направлении. Если имеется
два корня и оба-простые, то получается периодическое (либрационное)
движение. Если хотя бы один из корней двойной, то получится
асимптотическое (лимита-ционное) движение.
В случае либрационного движения для периода т имеем, очевидно, выражение
¦- ZJ Л1* (х) •
Мы приобрели большие знания путем простого исследования уравнения (4).
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Применим теперь полученные общие результаты к линейному осциллатору и к
маятнику.
В случае линейного осциллатора
F(x)=Щ-
и Ф(х) имеет при всяком W^>0 два простых корня:
-/IFF"
х1=-у~Г' х*=+у~г'
Движение - периодическое, между х = хх и х = х2.
Совершенно другая картина получается для маятника. Возьмем,
математический маятник. Для него
F(<p) - mgl (1 - cos <р) = 2mgl sin2-|-, Ф (ф) = W- 2mgl sin2 - .
Будем различать три случая.
1. Пусть
W < 2 mgl.
Тогда Ф(<р) имеет корни ± <рь где 0<9, Оба корня - простые, так как
Следовательно, имеет место периодиче-
ское движение, причем период его зависит от амплитуды. Если <рг не очень
велико, имеем приближенно, обозначив через <р0, максимальное отклонение
г=2Ут(1^^?)-
Период колебаний консервативной системы, вообще говоря, зависит от
амплитуды.
2. Пусть
W=2mgl.
Функция Ф(ф) имеет теперь корни
91,2 = ± 7Г.
Эти корни - кратные, и, следовательно, будет лимитационное движение:
маятник подходит к верхнему положению асимптотически, никогда его не
достигая.
3. Пусть, наконец,
W>2mgl.
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
79
Тогда уравнение Ф(<р) = 0 не имеет действительного корня. Движение
происходит все время в одном и том же направлении: маятник совершает
вращательное движение.
Здесь, для консервативной системы, с помощью уравнения (4) мы легко
получили всю картину движений. В случае неконсервативных систем такой
анализ невозможен. Качественное исследование их движений должно исходить
непосредственно из дифференциального уравнения. Разнообразие возможных
движений оказывается там гораздо больше. При этом ряд теорем о
качественном характере движений проще всего излагается на геометрическом
языке.
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
(3IXI 1930 г.)
Иллюстрации к качественной теории Вейерштрасса. Наглядное представление и
математическая теория. Представление движения на фазовой плоскости.
ОсоЗые точки и замкнутые интегральные кривые нелинейного
дифференциального уравнения.
Сначала несколько замечаний, относящихся к предыдущей лекции.
Мы поставили вопрос математически и решили его так, как это впервые
сделал Вейерштрасс. Мы имели закон сохранения энергии
m2~ -+- F{x)~- W. (1)
Это было наше уравнение движения. Для упрощения выкладок мы положили т =
2 (иначе говоря, ввели соответствующие единицы); тогда для скорости х
находим:
i = \jW-F(x).
В каждой точке пути материальная точка имеет потенциальную энергию F(x).
Мы обозначили разность W-F(x) через Ф(х). Заметим, что Ф (х) есть простое
обозначение кинетической энергии, выраженной как функция смещения.
80
ЛЕКЦИИ по колебаниям, часть первая
В каждой точке частица имеет определенную кинетическую и потенциальную
энергию. Мы можем теперь уяснить себе почти без математики, как будет
двигаться частица.
Пусть материальная точка движется в поле тяжести по желобку определенной
формы. В каждом положении точка имеет определенную потенциальную энергию
U - mgy (л) - F(x). Давая желобку подходящую форму, мы получим любую
зависимость F(x) потенциальной энергии от положения. Изобразим, например
(рис. 24, а), желобок, соответствующий постоянной силе, т. е.
потенциальной энергии, пропорциональной расстоянию. Изобразим далее (рис.
