Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Путь, которым шел основатель динамики Галилей, можно восстановить из его
"Диалогов1*. Будем идти примерно (но не совсем) по стопам Галилея.
Галилей изучал движение точки по наклонной плоскости. При этом он не
пользовался маятником, а измерял время по истечению воды из сосуда и
количество вытекшей воды считал пропорциональным времени. Галилей
установил, что ускорения при движении по гипотенузе (рис. 10) и при
свободном падении относятся друг к другу, как вертикальный катет к
гипотенузе. Отсюда следует, что шарик, пущенный из верхней точки А
окружности по секущей (рис. 11), придет на окружность через время, не
зависящее от выбора секущей. Отсюда следует также, что шарик, пущенный с
окружности по секущей, идущей в нижнюю точку В (рис. 12), приходит в нее
через время, не зависящее от выбора секущей. Галилей исходил из этого и
рассуждал так: при малых качаниях маятника дугу можно заменить хордой, и
маятник движется по хорде, как по наклонной плоскости. Тогда, если t-
время падения через весь вертикальный диаметр (рис. 13), то
58
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
откуда
t=
Период т малого колебания равен, следовательно, учетверенному времени
падения по хорде:
Из этого рассуждения получается, что малые колебания обладают свойством
изохронизма. Из него получается также, что
коэффициента пропорциональности: он равен в действительности 2тс, а не 8.
Мы видим, сколь опасно сделанное упрощение: как бы ни была мала дуга,
важна кривизна пути. Нельзя переменный наклон
прямой ломаною (рис. 14) в пределе правильно дает площадь, но не длину;
длина получается равной а~+-Ь, а не /.
У Галилея уже есть намек на закон сохранения энергии. Галилей пользовался
предположением, что если материальные точки движутся по двум наклонным
плоскостям (рис. 15), то на одном и том же горизонтальном уровне их
скорости всегда одинаковы.
независимо от того, откуда пущен маятник.
Ф
Рис. 11.
Рис. 12.
Рис. 13.
период пропорционален \/1, но не получается правильного значения
а
а
Рис. 14.
Рис. 15.
.заменять средним наклоном. Вот аналогичный пример: замена
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
59
Задача о физическом маятнике (рис. 16) занимала почти всех выдающихся
математиков того времени. При решении этой задачи Гюйгенс пришел к одной
из первых формулировок закона сохранения энергии в механике1.
Исследование Гюйгенса намного переросло частную задачу о маятнике.
Современная трактовка задачи на основе закона сохранения энергии такова.
Кинетическая энергия физического маятника есть
т V тв-
1 -Zi 2 •
Здесь m - массы материальных точек; v - их скорости (вместо суммы можно
написать интеграл). Далее
v - г?
и
(/-момент инерции).
Потенциальная энергия есть
U=Pl( 1 - cos у).
На основании закона сохранения энергии
Рис. 16.
Т -ь U= j (g)V Р1( 1 - cos 9) = С,а, (1)
где Сп-постоянная. Это - дифференциальное уравнение движения маятника.
Оно нелинейно. Ограничимся случаем, когда ф настолько мало, что можно
пользоваться приближением
cos 9=1 - -j .
Тогда вместо (1) можно написать приближенно:
Обозначив
1 [X. Г юйгенс. Три мемуара по механике. Изд-во АН СССР, 1951.]
с?9\2
di)~
PI '2 '
¦¦С2.
2С'1 Р! 1
С2,
60
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕР БАЯ
получаем:
откуда
Ф - С COS (wf -t- ф),
где
о) ~
PI
Для математического маятника массы т и длины I
/= Р т, P = mg, т = 2~ \j'l/g .
11ериод совершенно определенным образом зависит от параметров системы. Он
не зависит от начальных условий. Но фаза ф и амплитуда С произвольны. Это
величины, определяемые не системой, а данными опыта, так называемыми
начальными условиями.
Какие предположения были нами сделаны?
1. Предположение о том, что других видов энергии, кроме записанных в (1),
здесь не существует. Это значит в частности, что мы пренебрегаем трением.
2. Предположение о том, что маятник совершает малые колебания. При этом
кинетическая энергия равна постоянной, умноженной на ф2, а потенциальная
энергия - постоянной, умноженной на 'р2.
Возьмем какую угодно систему, кинетическая и потенциальная энергии
которой имеют именно такой вид: постоянная Хф2 и постоянная Х92 (<р -
координата системы). Такая система будет совершать синусоидальные
колебания. Это математически следует из вида выражения для энергии, и мы
с этим встретимся в ряде других примеров.
Но, решая уравнение (1), мы допустили некоторую неточность. Дело в том,
что уравнение (1) имеет еще одно решение, а именно 9 = const. Из закона
сохранения энергии нельзя вывести, что если отклонить маятник и затем
отпустить его, то он не будет оставаться в покое в отклоненном положении.
Существование дополнительного решения 9 = const - недостаток этого
способа рассмотрения. Второй закон Ньютона дает более определенный ответ:
на тело действует сила, отличная от нуля; следовательно, тело имеет
ускорение и 9 не может быть постоянным. Закон
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
61
сохранения энергии дает ответ на вопрос о том, как движется маятник, если
известно, что он не остается в покое. Для систем с несколькими степенями
