Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
24, б)
желобок, соответствующий квазиупругой силе, т. е. потенциальной энергии,
пропорциональной квадрату расстояния.
Без всякой математики легко видеть, как точка будет двигаться по желобку:
она будет подниматься до тех пор, пока кинетическая энергия не обратится
в нуль; тогда точка остановится.
Кинетическая энергия обращается в нуль тогда, когда потенциальная энергия
равна полной энергии. Это происходит при х таком, что F(x) - W (это
"условие остановки" мы уже получили аналитически). Затем точка повернет
обратно. Что будет, если функция W-F(x) не имеет корня, т. е. если во
всех положениях частицы F(x) меньше, чем W7 Если кинетическая энергия
настолько велика (рис. 25), что W больше максимума F(x), то материальная
точка перескочит через барьер и будет двигаться дальше. Если кинетическая
энергия как раз такая, что в максимуме F(х) имеем F(x)- W, то точка
дойдет до максимума потенциальной энергии и там остановится. В максимуме
первая производная F'(х) равняется нулю. Следовательно, в этой точке и
сила равняется нулю, так как
В такой простой картине все следует из наглядности. Зачем же мы проделали
в прошлый раз ряд математических выводов? Дело в том, что "житейские"
разговоры, в сущности, грешат в одном
Рис. 24.
F'(x) = -f(x).
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
81
месте. Пусть кинетическая энергия точки меньше максимальной
потенциальной. Мы знаем, что в таком случае точка должна остановиться. Но
уверены ли мы, что она дойдет до точки остановки за конечное время? Ведь
только при этом условии можно говорить о периодическом движении с
конечным периодом. А что будет в случае лимитационного движения? Может
быть, и в этом случае частица доходит до крайнего положения за конечное
время? Здесь наглядные рассуждения ничего не дают, а необходимо
математическое исследование. Без него вы не получите серьезного ответа.
Начинающему очень часто кажется: к чему вся эта математика? Ему кажется,
что "и так все ясно". Но в действительности какой-нибудь существенный
пункт при этом может остаться неясным. Иметь меру Рис. 25.
требуемой математической строгости- самое трудное для физика. Правильнее
будет сказать так: ему необходимо уметь определять эту меру.
Изучая поведение консервативной системы с одной степенью свободы, мы
исходили из общих законов движения. Закон сохранения энергии дает:
-F(x)=W.
Продифференцировав это уравнение, имеем:
х [т'х -¦ f(x)] - О,
так как f(x) = - F'(х) или F(x) = -[f(x)dx. Из уравнения, полученного в
результате дифференцирования, следует, что
т'х = f(x).
Это - выражение закона Ньютона. Если / зависит только от х, то, зная
f(x), можно найти F{x). Это равнозначащие выражения. Существенно, что
здесь сила зависит только от положения (бывают случаи, когда сила зависит
не только от положения).
Если тело падает под действием земного притяжения, его потенциальная
энергия есть
U = mgx.
6 Л. И. Мандельштам, том IV
82
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Отсюда для силы получаем:
, dU
Пусть это же тело падает в вязкой жидкости. Здесь возникает трение и
закон падения будет другим. Если остановить тело, то силы трения нет.
Сила трения не определена тем, в каком месте находится тело. Мы получим
хорошее приближенное выражение для силы трения, предполагая, что она
прямо пропорциональна скорости и действует навстречу скорости. Тогда
f= - mg-kx,
и дифференциальное уравнение движения таково:
тх = - mg - кх. (2)
Теперь сила f--функция не только от х, но и от х. Уравнение (2) следует
из второго закона Ньютона, но перейти от него к такому уравнению, которое
было бы аналогично закону сохранения энергии в форме (1), простым образом
невозможно (невозможно потому, что в выражение силы вошла производная х).
Здесь нет закона сохранения энергии в механическом смысле. Здесь
развивается теплота и постоянной остается сумма внутренней энергии
системы и развиваемой теплоты, которая в механические уравнения никак не
входит.
Анализ, который был нами проведен, годится для случая, когда сила не
зависит от скорости, но он ничего не может дать для общего случая. В этом
общем случае можно, однако, пользоваться другим методом исследования, к
которому мы теперь и перейдем. Он применим как к консервативным, так и к
неконсервативным системам. Этот метод носит геометрический характер. Он
связан с тем языком, на котором говорят все те, кто занимается квантами.
Вся их терминология основана на этом методе. В более сложных случаях этот
метод - единственный, и с ним нужно хорошо освоиться. Для нелинейных
колебательных проблем беспроволочной телеграфии этот метод, в сущности,
был введен А. А. Андроновым.
Математическая постановка задачи такова. Дано нелинейное уравнение вида
mx = f(x,x). (3)
Вообще говоря, такое уравнение нельзя проинтегрировать. Как же подойти к
исследованию движения? Как "выудить11 из уравнения,
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
83
какими свойствами обладают движения описываемой им системы?
Нас интересуют смещение х и скорость х. Нельзя ли изучить зависимость
