Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
так: потенциальная энергия должна быть положительна и должна квадратично
зависеть от координаты (кинетическая энергия всегда положительна и
квадратична по скорости).
Положительность потенциальной энергии - достаточное условие устойчивости
равновесия. В общем случае
U - f(x) = а0-+- агх -+• а2х2 -+•... (2)
В положении устойчивого равновесия U имеет минимум: если немного вывести
систему из состояния устойчивого равновесия, она не может в этом случае
далеко уйти, так как сумма кинетической и потенциальной энергий остается
постоянной, причем обе эти величины положительны. Совсем иначе обстоит
дело, если U имеет максимум. По мере роста х кинетическая энергия
увеличивается и система все более удаляется от состояния равновесия.
Можно поместить начало координат в положение равновесия. Если х = 0
является устойчивым положением равновесия, то, как сказано, в этом
положении U имеет минимум, для чего необходимо
а1 = 0, а2>0.
Если система выведена из состояния ¦ устойчивого равновесия, то при малых
отклонениях, когда можно пренебречь высшими членами разложения (2), она
совершает гармонические колебания.
Все разобранные нами примеры являются частными случаями таких колебаний
около устойчивого положения равновесия.
Эти примеры могут создать впечатление, что механические колебательные
системы очень разнообразны, а электрические - крайне однообразны: в них
всегда "одно и то же"-конденсатор и катушка самоиндукции. Это-кажущееся
однообразие. Различие 5 Л И. Мандельштам, том IV
66
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
между плоским и цилиндрическим конденсатором - такое же, как между балкой
и закрученным стержнем. Коэффициент к в механике обычно раскрывается, а в
электрических колебаниях нашли удобным раз навсегда назвать параметр,
аналогичный 1/к, емкостью. Разнообразие электрических систем скрыто в
том, как выражаются С и L через параметры, характеризующие
геометрическую" конфигурацию конденсатора и катушки.
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
(27/Х 1930 г.)
Примеры механических колебательных систем. Вал с двумя дисками и его
электрическая модель. Осторожность, необходимая при идеализациях. Пример
Боргля. "Неестественные" начальные условия в случае груза, висящего на
пружине. Электрическая аналогия этого случая. Качественное исследование
движений нелинейной консервативной системы с одной степенью свободы с
помощью интеграла энергии: неограниченное одностороннее движение,
либрационное движение, лимитационное движение. Применение общей теории к
гармоническому осциллатору и к маятнику.
Зависимость периода гармонических колебаний от параметров системы играет
важную роль во многих технических и физических измерениях, например:
в определении моментов инерции тел,
в измерении магнитных полей. Если известен момент инерции магнита, то из
результатов исследования его колебаний в магнитном поле можно найти в
отдельности произведение магнитного момента на поле и отношение
магнитного момента к полю и вычислить по этим данным магнитное поле. Этим
способом Гаусс определял напряжение магнитного поля Земли.
Вопросы, относящиеся к периоду колебаний, играют важную роль в
машиностроении. Часто случается, что центр тяжести вращающейся массы
машины немного смещен по отношению к оси вращения. При вращении
развивается центробежная сила, периодически действующая на ось. Когда
период вращения совпадает с периодом собственных колебаний системы,
состоящей из машины и фундамента, на котором она укреплена, то
развиваются опасные явления: колебания усиливаются. Это явление носИт
название резонанса.
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
67
Можно множить до бесконечности примеры систем, совершающих гармонические
колебания. Остановимся на одном из них. Представим себе, что в Земле
просверлен канал, проходящий через ее центр, и что в этом канале
находится тяжелое тело. Легко доказать, что действующая на него сила
пропорциональна расстоянию от центра Земли. Это соответствует
гармоническому колебанию; его период - около 42 минут. Конечно, это
шутка, но вы знаете, что Дж. Дж. Томсон положил подобную модель в основу
своей теории атома. Согласно этой модели атом - шар, равномерно
заряженный по всему объему положительным электричеством, внутри которого
колеблются отрицательные заряды - электроны. Известно теперь, что эта
модель глубоко, принципиально неправильна, но в свое время она сыграла
большую роль.
Рассмотрим еще один пример, на котором мы убедимся, как мне кажется, в
пользе рассмотрения колебательных вопросов с общей точки зрения. Попутно
я хотел бы спросить, что для вас нагляднее: механические или
электрические схемы? Кельвин говорил: "Я могу сказать, что я понял
явление, если я могу составить для него механическую модель11. Многие
современные физики сказали бы обратное: "Я понимаю механическое явление,
если я создал для него электрическую модель11.
Представим себе два диска, соединенные стержнем (как сказал бы физик) или
валом (как сказал бы техник). Эта система имеет две степени свободы: во-
