Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Л h
ИЛИ
5= х-2Т.
Замкнутая кривая ограничивает площадь, равную удвоенной средней
кинетической энергии, умноженной на период. Вводя частоту v = 1/t, мы
можем написать:
5= 2У V. (6)
В квантовой теории это соотношение играет важную роль.
Вся ценность формулы (6) в том, что она справедлива в самом общем случае
движения консервативной системы.
Возьмем частный случай гармонического осциллатора. Здесь соотношение (6)
можно вывести еще иначе. Интегральная кривая - эллипс. Длины а и b его
полуосей определяются соотношениями:
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
93
Площадь эллипса есть
Но
откуда
S = IF/V.
(7)
Таким образом, в случае гармонического колебания площадь, охватываемая
интегральной кривой, равна отношению полной энергии к частоте.
Но для гармонического колебания имеем:
- полная энергия равна удвоенной средней кинетической энергии. Подставляя
(8) в (7), мы приходим к соотношению (6). Запомним это общее соотношение
и то, что в частном случае гармонических колебаний Т = W/2.
Существует ли какое-нибудь соотношение между средней кинетической и
средней потенциальной энергией в общем случае? В механике для решения
таких вопросов очень важную роль играет так называемая теорема вириала,
которую мы сейчас докажем.
Будем исходить из самой простой, ньютоновой формы уравнений движения.
Трем координатам г-той точки соответствуют три дифференциальных уравнения
движения:
т=и,
а так как
T + U=U/-=W,
получаем
(8)
rriiXi - ^
Хотя в механике это не принято, мы будем писать все уравнения в таком
виде:
miXi Xjy (9)
94
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
т. е. будем нумеровать подряд все координаты: хг; уи zlt х2, у2Г г2,
х3,... и обозначать их одной буквой х. При этом
m1 = m2 = ms, m5 = /п6,...
(каждая тройка относится к одной и той же материальной точке). Умножив
уравнение (9) на хи получаем:
т(х( Xi = Х(Х(,
или
^ (m,xt- x{) - т(х] - X,Xi-
Умножим теперь обе части равенства на dt, просуммируем по всем ir
проинтегрируем между двумя какими угодно пределами t, t-f-т и разделим на
т:
t +1 (+т
'-V..........
* * t t Т
t t
- ' ntiXiXi
Г ~ w mix\dt-~\ ^_XjXj dt. (10)
Рассмотрим случай периодического движения. Пусть т - период. Тогда
3 п
X1 . | м-т
' т(х( х, =0
11
=i
и соотношение (10) принимает вид
2ТV=0, (И)
где
*ЧГ
t
есть среднее значение за период полной кинетической энергии
3 п .о
'V Т тп ЛГ;
системы Т = -> а
:1
t+~
J ^XiXidt (12)
t
есть среднее значение за период от суммы
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
9S
Выражение (12) Клаузиус назвал вириалом данной системы сил.
Пусть теперь движение не периодическое, но такое, что ни скорость, ни
координаты не обращаются в бесконечность (финитное движение). При этом
Зп
2 ! miXiXi | < М, (13)
1-1
где М-некоторое положительное число.
Возьмем т очень большим. При достаточно большом т в силу (13) левая часть
(10) с каким угодно приближением равна нулю. При этом и для
непериодического движения с любым приближением справедливо соотношение
(11). Оно выражает теорему Клаузиуса о вириале.
Теорема вириала получила большое применение в кинетической теории газов.
Частный пример позволит нам сделать несколько существенных дополнительных
замечаний.
Рассмотрим достаточно разреженный газ. Он подчиняется уравнению состояния
pV=RQ, (14)
причем R пропорционально массе газа. Удобно брать 1 моль газа (число
граммов, равное молекулярному весу). Тогда R-одно и то же для любого
газа.
Построим самую грубую механическую картину. Будем считать, что молекулы -
просто шары (это соответствует одноатомному газу). Их удары о стенки
обусловливают давление. Каково соотношение между давлением и средней
кинетической энергией молекул? (Для механической модели понятие
температуры-совершенно чуждая вещь; мы же решаем механический вопрос.)
Пусть и1 - средний квадрат скорости одной молекулы. Тогда,, по теореме
вириала
2T=Nml* = - V.
Представим Х{ как сумму внешних и внутренних сил:
1,. = 1,(') + ТД
Общий вириал равен сумме соответствующих внешнего и внутреннего вириалов:
V- К(е)-+- V(il
96
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Легко вычислить вириал внешних сил. Пусть сосуд представляет собой
прямоугольный параллелепипед с ребрами а, Ь и с. Внешние силы действуют
только со стороны стенок сосуда. На трех стенках х -0, у = 0, z -О вириал
равен нулю. Строго говоря, это не очевидно, а нуждается в обосновании,
так как если удары молекул о стенки - мгновенные, то сила обращается в
бесконечность. В действительности, когда молекулы ударяют о стенки, они
их слегка продавливают: "для того, чтобы оттолкнуть моле-кулу," стенка
немного сдвигается (иначе силы не будет). На очень малом протяжении Ах в
течение очень малого промежутка времени A t сила Х^ очень велика. Но
можно строго обосновать, что когда жесткость стенок неограниченно растет
и Х^в>-*оо, то Ах и At стремятся к нулю и притом так, что вириал тоже
стремится к нулю.
На стенке х - а вириал равен
а 2 -XУ1 - о (- pbc) = - раЬс,
где р--давление. Действительно, -это давление, умно-
