Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
нулевого приближения равен (86.8), матричный элемент <я [ 1Х [ я>0 равен
нулю. Первые неисчезающие члены <г\> линейны по А; имеем
/} s <n\h\m><m\H'\n> ^ <л | Н' | т"> <т' | ix J n>
<г1>= 2- ----------Ё^-ЁГт------- ^ 2- ----------Е^Ё^,----- -(8ЬЛ5)
ш (=^0) т' (=#0)
Согласно (86.12) и (86.13) энергия промежуточного состояния выше энергии
исходного состояния на ± (е {k - q) - e, (k)). Все слагаемые в (86.15)
могут быть приведены к одному знаменателю. Подставляя (86.12) и (86.13) в
(86.15), получим для одной фурье-компоненты г\
<*"> " 2 {•~ШгУV¦(*-*)("- *) • <86-16>
*
ЭФФЕКТ МЕЙСНЕРА - ОКСЕНФЕЛЬДА
339
Нас интересует температурная зависимость этого тока. Для этого заменим
числа заполнения и*, согласно (84.4), на вероятности заполнения /*. Когда
мы переходим к предельному случаю q -*¦ О, то конечная разность в (86.16)
становится равной производной д/уде. Все другие q в этом уравнении можно
положить равными нулю. Если мы еще заменим суммирование по k (с одним
направлением спина!) интегрированием, то получим
, . . 1 I I Л 2е^2 Ло Г , dfk ,Q с 1
-7\
1 _ 2^%/ 0 эГ - ЭтЬ^я)* J ' (86Л?)
k
Это выражение мы объединим с (86.8) в уравнение, справедливое в
предельном случае д = 0:
где мы при преобразовании использовали (5.6) и (5.7).
Интеграл может быть легко определен в двух случаях: а) для электронного
газа с нормальной проводимостью (е = ?-ЕР) производная - dfk/ds равна б-
функции и оба члена в скобке сокращаются; б) для Т - 0 из-за того, что
ефО, dfk/de равно нулю и, следовательно, скобки равны единице.
Уравнение (86.18) дает линейную связь между плотностью тока и вектор-
потенциалом магнитного поля; поэтому оно совпадает с одним из двух
лондоновских уравнений феноменологической теории сверхпроводимости,
которые добавляются к максвелловским уравнениям. Оно записывается обычно
в виде
* = (86.19)
Для того чтобы показать, что это уравнение содержит эффект
Мейснера -Оксенфельда, рассмотрим границу сверхпроводника с вакуумом.
Пусть сверхпроводник заполняет полупространство г < 0, вакуум-
полупространство z > 0. Во внешнем пространстве имеется магнитное поле В
= (ВХ, 0, 0). В сверхпроводнике справедливы тогда уравнения
Toii = ~lk^B' rot5 = Tf' div5 = 0> (86.20)
которые мы можем преобразовать к уравнениям
Д/ = 1/, Д В = ±В. (86.21)
Решения для поля В=(ВХ, 0, 0) и плотности тока / = (0, i 0) при данных
граничных условиях, очевидно, пропорциональны
340
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
1ГЛ. X
граничным значениям при 2 = 0, помноженными на exp (-z/X). Таким образом,
внешнее магнитное поле индуцирует в поверхностном слое толщины X
сверхпроводящий ток, который препятствует проникновению магнитного поля в
сверхпроводник. Введенный в (86.19) параметр А, определяет глубину
проникновенияматшг-ного поля. Используя (86.19) и (86.18), получим
Я(Г) = Л(0)^ 1 - . (86.22)
Если известна зависимость энергетической щели Д от температуры (рис.
100), то интеграл может быть определен численно. Мы
получим тогда результат, изображенный на рис. 101 (кривая а). В точке
перехода глубина проникновения становится бесконечной, эффект Мейснера-
Оксенфельда исчезает.
Рис. 101 содержит и другие кривые: в - эмпирическую зависимость для
глубины проникновения А, (Т) = А,(0) (1-¦
-(Т/Тс)1)- 1/2 и б-результат "нелокальной БКШ-теории". Подразумевается
следующее: если при выводе (86.19) не ограничиваться предельным случаем
д= 0, то зависимость между i и А становится нелокальной:
/(г) = 5/(г, r')A(r')dx'. (86.23)
Плотность тока в определенной точке г зависит не только от значения
вектор-потенциала в этой точке. В следующем параграфе мы кратко обсудим
это.
§ 87. Дальнейшие теоретические предположения
В этой главе мы ограничились только одним аспектом теории
сверхпроводимости-теорией БКД1 в формулировке элементарных возбуждений.
Наряду с этим имеется ряд других теорий, о которых мы можем только кратко
упомянуть.
В первую очередь необходимо назвать феноменологические теории, которые
описывают явление сверхпроводимости посредством изменения
электродинамических уравнений А^аксвелла. Главнейшая из них-теория
Лондона. Так как сверхпроводимость рассматривается как другое состояние
материи, то уравнения Макс-
Рис. 101. Глубина проникновения магнитного поля по теории БКШ (а-
локальное приближение, б - нелокальное приближение) и (в) по
эмпирическому закону Я-2~1-(Т/Тсу. (По Феттеру и Валечка [79].)
ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
велла сохраняются, а изменяются только материальные уравнения. Изменению
подвергается лишь плотность электрического тока, которая рассматривается
как сумма плотностей нормального и сверхпроводящего токов. Для плотности
нормального тока продолжает быть справедливым закон Ома. Для
сверхпроводящего тока вводятся лондоновские уравнения
А,2 die
4Л 4" r°t <s = - В, 4я - = Е. (87.1)
Первое из этих уравнений мы уже вывели в последнем параграфе из теории
БКД1 и обсудили его.
•> Обобщение этого уравнения было дано Пиппардом. Он показал, что
