Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
образования электронно-дырочных пар. В этой картине электроны могут
возникать и исче-
§ S3 J
СВЕРХПРОВОДЯЩИЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ
323
зать только вне ферми-сферы, дырки - только внутри ферми-сферы. Закон
сохранения числа частиц требует, чтобы электроны и дырки возникали и
исчезали только парами.
Откажемся от последнего требования, т. е. предположим, что может
происходить раздельное возникновение и уничтожение электронов и дырок.
Оба процесса означают некоторое элементарное возбуждение, характеризуемое
определенным ft-вектором и спином. Если описывать процессы возникновения
и уничтожения операторами с+ и с, то с учетом сохранения импульса и спина
возникновение электрона k\ вне ферми-сферы (оператор c+j.) эквивалентно
исчезновению электрона - ft| внутри ферми-сферы (оператор с_*ф). В
качестве оператора возникновения соответствующего "возбуждения" можно
взять комбинацию ы*с+ -\-vkc-k, где Uk внутри ферми-сферы, а и* вне ее
равны нулю. Таким образом, могут быть определены четыре оператора для
возникновения и уничтожения возбуждений с обоими направлениями спина.
До того как мы их выпишем, условимся для упрощения записи связывать с
индексом ft состояние ftf, а с индексом - ft состояние -k\. Тогда
определим
Условие u2k-\-v2k=\ и порядок изменения знаков в (83.2) обеспечивают для
ак те же правила коммутации, что и для ck. Опуская спиновые индексы в
соответствии со сделанным выше соглашением и вводя новые операторы,
перепишем первый член в (83.1):
= ^jE{k)[2vl + (ul - vl) (a-l ak -f а+fta_ *) -f 2ukvk(a+at k + а_
ftaft)] =
= J] Е (ft) (2 - a+aft -a+fta_ft)+ 2 Е (ft) (a+aft -fa+fta_ft). (83.4)
До того как мы станем обсуждать этот оператор, целесообразно провести над
ним еще одно преобразование. Новые операторы меняют число частиц в
системе. В системах с изменяющимся числом частиц целесообразно перейти от
энергии к термодинамическому потенциалу (ср. переход от (6.20) к (6.24)).
Для этого необходимо вычесть из энергии произведение химического
потенциала на число частиц. Мы проделаем здесь то же самое и будем
СС/г - Uk Ck t'kC^^y Q - k - tlkC-k ,
a+ =и*с+ - vkc-k, a+_k = UkC+k + vkck,
(83.2)
с условием + v\=\ и
kc
k
k
k<kp
k>kp
324
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. X
впредь рассматривать оператор #red = Н - EFNор = Н - Ep^(c+ck +
k
+ ctkc-k). При этом получим из (83.4), что
#red =2 (Е (?) - EF) (С + С* + CtkC-k) = k
= 2 6 (ft) (2 - a+aft- oc + feoc_*) + V e № (a*a* + aZka-k) =
- 2 2 e (ft) + JJ ё (ft) | (aft ak + a+fea_*) = //°red + У |e(ft)|(rt*, -
f- /i _fti).
k<kp k к
(83.5)
Здесь мы ввели энергию е (ft) = ? (ft) - ЕР, отсчитываемую от поверхности
Ферми; пк - оператор числа частиц введенных нами новых возбуждений.
Формально переход от Я к Н,ей связан с заменой Е (ft) на e(ft). В обоих
случаях оператор Гамильтона состоит из слагаемого, соответствующего
основному состоянию, и члена, пропорционального числу возбужденных
частиц. Условие (83.3) для ы* и vk означает, что вторая строка (83.4) не
содержит недиагональных членов.
Расширим наше рассмотрение привлечением в (83.1) члена взаимодействия.
После исключения суммирования по спинам и введения a-операторов
(преобразование Боголюбова - Валатина) член взаимодействия принимает вид
-yl et'ftva'C-to'Cka = - V X ~ictkfi-kck =
kу k' kk'
СфС'
= V'?{ukVf!Uil'Vk'{l-a + k,a-k'-a+,ab')(\-a.+la-/! - a+a.k) + kk'
+ (ul - vl) uk'Vk- (1 - - a+ak') (a^kat! -f a+a+k) +
+ ("|a_*aft - vla+atk)(ul,a+a+k, - 1^,а_*<а*<)}- (83.6)
Дополнительное условие (83.3) теперь нецелесообразно. В (83.4) мы смогли
посредством него избавиться от недиагональных членов; теперь, однако, в
(83.6) появляются другие недиагональные члены. Для того чтобы их
исключить, необходимо последний член второй строки в (83.4) совместно с
двумя последними строками в (83.6) положить равными нулю. Это дает новое
уравнение для определения ик и vk.
До того как мы так сделаем, упростим (83.6). Пренебрежем членами
четвертого порядка в а (последняя строка). Так как мы, кроме того, в этом
параграфе интересуемся только основным состоянием, то вычеркнем все
члены, содержащие а* в качестве последнего оператора, так как его
применение к основному состоянию дает нуль. К оставшемуся выражению
добавим соответ-
§83]
СВЕРХПРОВОДЯЩИЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ
325
ствующие члены (83.4) или (83.5); в результате получим Hted = 228(*0 Vl -
V^ UkVkUk'Vk' +
k kP
+ 2 {2"*u*8 (k) - (ul - V ^ Ub'Vv} ака1к- (83.7) ft к'
Величины Uk и vk определяются из требования равенства нулю последнего
члена в (83.7). Как и в (82.7), положим сумму У
v
постоянной и обозначим ее А Г. Для того чтобы в (83.7) фигурная скобка
равнялась нулю, необходимо выполнение условия
2ukvkE (k)A (ul - vl). (83.8)
Так как одновременно имеет место соотношение то
"5 = 1(1+Ы, Ч-lo-W. i>=yWW-W' (83-9)
Условие (83.9) переходит в (83.3), когда взаимодействие V, а
следовательно и А, равно нулю. Взаимодействие обусловливает непрерывный
переход в окрестности kF величии ик и vk от значения 1 до 0. В этой
