Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
высокими члензми разложения потенциальной энергии, представляется
целесообразным в части, соответствующей гармоническому приближению,
рассматривать положения равновесия ионов как свободные параметры
(квазигармоническое приближение). Действительные постоянные решетки
определяются тогда из минимума свободной энергии. Таким образом
определенные параметры становятся зависимыми от температуры и отличаются
от тех, которые определяются из минимума потенциальной энергии.
Для описания теплового расширения и других термических и калорических
величин, зависящих.от энгармонизма решетки, необходимо исходить из
свободной энергии решетки. Для этого мы используем (6.23), (6.29) и
получим
Оперэтор Гамильтона состоит из суммы квэзигэрмонического оперэторэ
Гэмильтонэ Нй и энгэрмонических добэвок Н3 и #4. Мы пренебрежем более
высокими членами рэзложения в Н, рэс-смэтривэем сумму Н3 + Hi как мэлое
возмущение и рэзлэгэем свободную энергию по степеням этого возмущения.
Для этого целесообрэзно зэписэть Н в виде Н0 + б (Н3 +#4), рэзложить по
степеням бив конце положить б рэвным единице. Тогдэ получим
Z(0) и его производные мы получим путем рэзложения по сте-
(90.1)
П
F - - knT InZ (б) =
(90.2)
§90]
АНГАРМОНИЧЕСКАЯ ДОБАВКА. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ
351
пеням б матричных элементов Мпт = <.п\е н/квТ\тУ:
е ( - Еп _ Ет )
- -" kRT kRT
М"и = е V Ьпт + ЬМпт\^-^ + ^-Т) +
\ с-п п гтг е* m '-'П/
I квт циклические 1
-"¦ ^ | (Е.-|.)(Е,-г,) + циновки по j . (90.3)
"Г
р
где ^ - собственное значение Я0 "п \е н"/квт \ п> - е Еп/квт) и Nnm -
матричные элементы <" |Я3 + Я41ту. Таким образом, получим
Еп
Z = Z(0) + SZ' (0)+yZ"(0) = Sm""= Jj e квТ +
z n n
+ e?(-&e"lfr)+?|2^JV-x
Ep In. -IlL
~klT kRT En-Ep kBT
e ° -e ------ e
X (.En-Ep)" B +••• (90,4)
Отсюда могут быть взяты Z{0), Z'(0) и Z"(0). Z"(0) может быть упрощено
посредством обмена индексов суммирования в членах суммы.
Мы опять можем воспользоваться тем, что в первом приближении в Nпп надо
учитывать Я4, а в произведении NnpNpn - только Н3. Тогда в Z'(0) появится
только член Я4, а в Z" (0) - только член Я3; можно пренебречь (Z'(О))2 по
сравнению с Z" (0). Если все это учесть, то для свободной энергии
получится выражение
" 2/<"i".i">+ -i.
п \ ГУЛ ^ п Е* /Г
____ , Ге
п и т. 1 V* kDT , I (ф п) )
F = - 1пДе в -\-----------------------------р----------------.
п _ п
2 е квТ
(90.5)
Первый член справа - свободная энергия в квазигармоническом приближении.
Подстановка (30.14) в Еп дает
F0=keT? ln(2sh^^). (90.6)
352
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
[ГЛ. XI
Ангармоническая добавка может быть переписана в виде
Р = Р0 + <п\Н,\п}+ У \<И^ЛАИ>\1 . (goj)
с п с /я
т
{фп)
Здесь черта усреднения соответствует использовавшемуся уже ранее (см.
(31.15)) статистическому усреднению Д = = S^e~VV/^e-VV'.
п п
Пользуясь свободной энергией, можно вычислить все калорические величины:
внутреннюю энергию, энтропию, ангармоническую добавку к удельной
теплоемкости, уравнения состояния и т. д. Если положить производную от
свободной энергии по постоянной решетки равной нулю, то можно определить
зависимость последней от температуры. Заметим, что для этого (90.7)
должно быть дополнено членом Ф0, зависящим от постоянной решетки.
Первый шаг в определении всех этих величин - это вычисление в (90.7) всех
матричных элементов и их статистическое усреднение. Расчет становится
относительно громоздким, не вызывая, однако, принципиальных затруднений.
В явном виде в литературе рассчитывается обычно только линейная цепочка.
Отсылаем по этому поводу в первую очередь к обзору Лейбфрида и Людвига,
упомянутому в конце предыдущего параграфа.
§ 91. Теплопроводность кристаллической решетки
В этом параграфе мы обсудим влияние фонон-фононного взаимодействия на
теплопроводность изоляторов. В газе невзаимодействующих фононов локальное
повышение температуры распространяется со скоростью упругих волн решетки.
Фононы распределяют локально приданную кристаллу энергию по всему его
объему.
Условие, что тепловой поток пропорционален градиенту температуры,
означает, что тепловое сопротивление вызывается взаимодействием фопонов.
Если исключить взаимодействие с электронной системой (изолятор), то
остается рассеяние фононов на дефектах решетки поверхностью кристалла, а
также фонон-фононное взаимодействие. Вначале кажется невозможным, чтобы
фонон-фононное взаимодействие привело к ослаблению потока тепла.
Рассмотрим тепловой поток с определенным квазиимпульсом (суммарным
квазиимпульсом всех фононов) Q = 2nqig. При фонон-
Ч)
фононном взаимодействии энергия и квазиимпульс сохраняются, т. е.
суммарный квазиимпульс остается постоянным.
§91] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 353
Это утверждение, однако, правильно, если ограничиться нормальными
столкновениями (Л/'-процессами). Закон сохранения квазиимпульса в
процессах взаимодействия справедлив с точностью до слагаемого Кт. Сумма
^-векторов может быть равна вектору обратной решетки. Если Ктф 0, то мы
