Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
пропорциональна g0 " exp (-fuoq/kBT).
356 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XI
Для того чтобы имел место процесс переброса, необходимо, чтобы q q' q" ^
К, но при этом каждое q лежало внутри зоны Бриллюэна. Примем для простоты
дебаевскую модель (co = s-^; радиус бриллюэновской зоны = радиусу
дебаевской сферы = qD = a>D/s). Пусть, далее, все три фонона принадлежат
одной ветви колебаний: s = s' = s", тогда закон сохранения энергии дает q
- q' + q". Так как q' + q" должно выходить за границу зоны Бриллюэна, то
q' q" = q ^К/2. Процессы переброса начинаются, только когда q = K/2 или
fraq = kBQD/2. Таким образом, при низких температурах тепловое
сопротивление, обусловленное процессами переброса, пропорционально ехр(-
QD/2T). Определяющий температурный множитель в теплопроводности имеет вид
ехр(0д/27"). Здесь необходимо ввести еще некоторое исправление. Легко
показать, что одновременное выполнение законов сохранения энергии и
волнового вектора возможно только в том случае, если в процессе участвуют
две ветви колебаний - продольная и поперечная, при этом q принадлежит
верхней ветви, a q' или - нижней ветви. Таким образом, условие s = s'=s"
на самом деле не выполняется; это ведет к несколько измененному множителю
1/2 в показателе экспоненты.
При высоких температурах возбуждается много фононов и g0 + l в (91.3)
могут быть заменены через g0, которые равны kBT/%a>q. Тогда левая часть
(91.3) пропорциональна gradT. Температурная зависимость правой части -
Т38у или TSg. Поправка к функции распределения, а следовательно плотность
теплового потока, пропорциональна (1/Г)grad Г; таким образом, удельная
теплопроводность пропорциональна 1/Т.
В общем, отсюда следует, что если доминирующим механизмом рассеяния
является фонон-фононное взаимодействие, то теплопроводность при Т <^.TD
падает экспоненциально, а при T^>TD падает, как 1/Т. Для чистых образцов
при низких температурах, когда длина свободного пробега фононов
становится сравнимой с размерами образца, сюда добавляется рассеяние
поверхностью. Новые механизмы рассеяния добавляются в образцах с
дефектами и свободными носителями заряда. Все они приводят к возрастанию
теплопроводности при низких температурах, которая достигает максимума, а
затем вновь падает. Только правее максимума превалирует рассмотренный
здесь механизм фонон-фононного взаимодействия. Все это отражено на рис.
105.
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ
Квантовомеханическое описание элементарных возбуждений делается гораздо
более наглядным-, если использовать представление чисел заполнения1).
Приведем здесь краткое изложение этого метода. Подробное описание можно
найти, например, у Киттеля [12], Пайнса [16], Тейлора [19], Займана
[ЮЗ]2). В .общем виде-также во многих учебниках квантовой механики
(Граверт, Ландау-Лифшиц, Роман и др.). В этом представлении мы должны
различать бозоны (1) и фермионы (2). Мы начнем с бозонов.
1. Оператор Гамильтона для газа бозонов задан выражением
Я=4Е №*+"№*)>
. * . (А.1)
P-k~Pk' Q-k - Qk<
Такой оператор, который состоит из суммы членов, формально совпадающих с
операторами Гамильтона гармонических осцилляторов, мы уже встречали,
когда вводили плазмоны (см. (12.8)) или фононы (см. 31.9)).
Операторы Pk и Qk в (АЛ) удовлетворяют перестановочным соотношениям
[Qft, pk-] = i^kk'- (А.2)
Энергия газа бозонов, как следует из (АЛ), равна сумме энергий отдельных
осцилляторов Ek (nk + 1/2). Введем теперь новые операторы ар и аь
посредством соотношений
ap = (2fLak)-i/^(wkQl-iPk),
=(2Кг Г1/2 К <2*+•
Тогда оператор Гамильтона
Н =^!h(i>k( a+kak {QkPk ~ Q-kP-ь)- (А-4)
!) Называемое также методом вторичного квантования. (Прим. ред.)
2) См. также Маттук Р. Фейнмановские диаграммы в проблеме многих
тел, [80]. (Прим. ред.)
358 приложения
Так как каждому члену к соответствует член -к, то при суммировании по к
выпадает последняя сумма, и тогда
Я = 2Ц("Я+-|). (А.5)
k
Уравнение Шредингера тогда имеет вид
г|>, (А.6)
a+kak<b = nk% (А.7)
где а*ak можно считать оператором чисел заполнения. Определим
собственные векторы т}> этого оператора заданием nk чисел заполнения
k-то состояния,
тогда (А.7) будет
atak I "1 •.. tik ... > - rife | ni ... nk .. .>. (A.8)
Для операторов (А.З) из (А.2) следуют перестановочные соотношения
\_ak' = (А.9)
Выражения (А.8) и (А.9) сразу разъясняют смысл этих операторов. В самом
деле,
atakak l"i ••• "*•••> =("* + !)"* !"!••• "fe ...>, (АЛО)
4 |"i ••• nk...y = N+ (nk) |я, ... nft + l ...>, (A.ll)
где УУ+-нормировочный множитель, который еще надо определить. Соот-
ветственно
atakak |"i ••• "fe •••> = K-1)°fe | "1 ••• "fe •••>, (A-12)
и, значит,
••• nk ¦¦¦> = N~(nk) |"i ••• "fe-1 •••>; (A.13)
a? рождает и afe уничтожает квант в состоянии k (операторы рождения и
уничтожения).
Еще неопределенные нормирующие множители получаются из выражений
<"fe | пкУ = 1"
<.Ч\а1ак\пкУ = Ч = Ы~ ("fe) N+ ("fe-1). (A-14)
<"fe|afe"fe |"fe> = "fe + I = yV+ ("fe) N~ ("* + !)•
