Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
принимает вид
= (6Л4>
Коммутатор в правой части этого уравнения можно записать в виде
[(с Н), (<rs)] = {а Н)(в8) - {as) (а II) =
3 3
= 22 О- (б-7&)
1=13=1
Мы использовали тот факт, что величина s является средним значением
оператора а и, следовательно, есть с-число. Магнитное поле также является
с-числом, так как в нашей трактовке оно не квантовано.
Из формулы (6.75) очевидно, что в двойной сумме исчезают все члены, для
которых г = /. Если же г =/= /, то мы можем записать выражение (6.75) с
помощью (2.75) в другом виде:
[(<г Н), (<rs)] =2г 2 Я>зб* = 2i{[H s] or), (6.76) [i, к ц
где j, j, к образуют четную перестановку чисел 1, 2, 3. С помощью формул
(6.76) и (6.69) уравнение (6.74) можно записать следующим образом:
(¦^-<*) = -Г([МН]а). (6.77)
6.8]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
315
Это уравнение легко решить относительно dM/dt, если умножить обе его
части справа на О; и вычислить след от обеих частей полученного
выражения. Так как Эрсцсту = = 26и, то три компоненты намагниченности
удовлетворяют следующему уравнению движения:
(tm)-=-цМН\. (6.78)
Это классическое уравнение движения магнитного момента в магнитном поле,
и оно представляет собой еще один пример применения теоремы Эренфеста. По
форме это уравнение идентично гейзенберговским уравнениям движения для о:
(6.79)
Если можно решить гейзенберговские уравнения движения, то можно решить
классические уравнения, и наоборот.
6.8. Характеристическая функция
Характеристическая функция весьма полезна и удобна при описании
статистических свойств ансамблей, находящихся как в чистом, так и в
смешанном состоянии. Эта функция является производящей функцией для
моментов высших порядков, которая обычно используется в классической
статистике.
Мы рассмотрим оператор ехр (i?^4), где | - вещественный параметр и А -
наблюдаемая величина. Среднее по ансамблю от ехр (i\A) определяется с
помощью формулы (6.10):
<е^> = СА (I) = Sp р (t) е*А, (6.80)
где р и А взяты в шредингеровском представлении, а функция С а (?)
называется квантовой характеристической функцией оператора А.
~Эта~функция действительно является производящей"функцией для моментов
высших порядков, так как если по определению l-й момент от величины А
равен
<Л'> = Sp р (t)Al, (6.81)
316
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
то из формулы (6.80) сразу же следует, что
<Лг> = -JL-Ca(6)|s=o. (6.82)
д (ilY
Следовательно, если известна характеристическая функция для величины А,
то все остальные моменты этой величины могут быть получены простым
дифференцированием.
Характеристическую функцию можно представить в другой форме, из которой
видно, как можно использовать эту функцию, чтобы получить статистические
свойства ансамбля. Для этого запишем выражение (6.80) с помощью формулы
(6.4) в виде
с А (I) = 2 РФ <Ф (t) | I ф (*)> = Sp р (0 в"А. (6.83)
ф
Пусть оператор А имеет непрерывный спектр собственных значений от - оо до
+ оо, а собственные векторы образуют полную ортонормированную систему.
Тогда мы имеем
-f-oo
А\А'} = А'\А'}, j \A'}dA' (А'\ = I, (6.84)
00
{А' | А"} = б(Л' - А").
Теперь с помощью этих соотношений можно записать выражение (6.83)
следующим образом:
-J- 00 -f-00
Са(?) = Ел. J S <^(t)\A,>dA/{A'\e^\A^dA" х
ф -оо -со
+°°
X <Л"|ф(*)> = Е^Ф I KMOI-4')!2 e^'dA'. (6.85)
ф -ОО
Мы видим, что в формулу (6.85) входит величина | <ф (t)\А'у |2йП',
которая представляет собой вероятность того, что измерение величины А для
системы в состоянии <ф (t) | даст для А значение между А' и А' dA'. Для
6.9]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
317
смешанного состояния усреднение по ансамблю дает
Р (Л') dA' = 2 Рф I <Ф | Л'> I2 dA\ (6.86)
ф
Это выражение определяет функцию распределения вероятностей для
переменной А' в данном ансамбле. Если мы используем определение (6.86) в
формуле (6.85), то увидим, что характеристическая функция является не чем
иным, как компонентой Фурье от функции распределения вероятностей
состояний системы по данному ансамблю Р{А'). Поэтому мы можем выполнить
обратное преобразование и получить
+оо
Р S гЫ'С* (l) dl (6.87)
-оо
Таким образом, характеристическая функция Са: Ш однозначно определяет
функцию распределения вероятностей
Р{А'). Однако существуют некоторые особые случаи,
для которых приведенное выше доказательство не является справедливым. Мы
не будем их касаться.
Часто бывает более удобно вычислять характеристическую функцию в
представлении Гейзенберга. В этом случае она имеет следующий вид:
^(E) = Sp[pH(geiWH(i)]. (6.88)
Таким образом, для того чтобы изучить статистические свойства различных
ансамблей, мы будем в дальнейшем вычислять характеристические функции
этих ансамблей.
6.9. Распределение Пуассона
В этом разделе мы получим характеристические функции для импульса р и
координаты q в момент времени t для ансамбля гармонических осцилляторов в
том случае, когда в момент времени t = 0 этот ансамбль находится в чистом
состоянии, соответствующем распределению Пуассона по состояниям фотонов с
