Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы предположим, что средняя энергия для ансамблей, которые
описываются статистическими операторами
(6.128) и (6.111), одинакова, то Т' = Т - (Йсоп/к)<^ Т, так что
информация о сигнале <р> и <д> в (6.128) уменьшила энтропию.
ЗАДАЧИ
6.1. В представлении взаимодействия найти выражение для статистического
оператора в том случае, когда гамильтониан имеет вид Н - Н0 +
Предположить, что Н не зависит от времени.
6.2. Доказать, что Sp | it> <с | = (v | ц>, если | ц> и | в> - два любых
кет-вектора.
6.3. Выразить статистический оператор (6.4) через полную ортогональную
систему векторов состояний { | к)}, где
SI *><*! = '•
К
6.4. Вывести характеристическую функцию (6.110). При этом кроме выражения
(6.115) необходимо использовать также следующую формулу:
ОО
2 (2 v^i),
71=0
где Jn - функция Бесселя нулевого порядка. С помощью этой
характеристической функции показать, что (А > = 0 и <Л2> == = |а|2
(2Я+1).
6.5. Для ансамблей, которые описываются статистическими операторами
(6.96), (6.107), (6.111) и (6.128), вычислить величину <ехр ('Qa^~a)y,
где ? - параметр. Здесь роль величины А играет выражение ?а+а.
6.6. Рассмотреть два связанных осциллятора с частотами оц и <о2, которые
описываются гамильтонианом
Н - Непала -f- Hw-zb+b + hk (ab+ -f- i&b),
причем каждый из операторов а коммутирует с каждым из операторов Ь, но
[а, а+] = [6, 5+] = 1. Здесь к - малая константа связи. Рассчитать
статистический оператор в нормальной форме в момент времени f, если при t
= 0 он задан следующим образом:
р (0) = (1 - е~х>) (1 - е~Хг) ("-">*) е-М>+ъ_
334
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
Указание: предположить, что оператор р (г) задай в нормальной форме, и,
используя результаты гл. III, привести правую часть уравнения
ih = [ЯрЮ - Р(П)Я]
к нормальной форме.
6.7. Доказать, что необходимым и достаточным условием того, что эрмитов
положительно определенный оператор р, след которого равен единице,
описывает ансамбль в чистом состоянии, является условие Sp р2 = 1.
6.8. Найти статистический оператор для ансамбля частиц со спином 1/2,
максимизируя энтропию при следующих дополнительных условиях: Sp р = 1 и
<6> = s - Sp рб. Выразить множители Лагранжа через s и показать, что
результат согласуется с выражением (6.60). В ходе доказательства
показать, что
з Г з sh Л/ У з
ехр (- ^ Vi) = ch I/ 2 ki ---------------------------2 V*.
i=! У i=i л/ у ц *=1
V j=1
где - множители Лагранжа.
6.9. Показать, что для операторов с и с"*" и векторов состояний | п >с,
которые определены формулами (6.129) и (6.130), имеют место следующие
соотношения:
' а
а
<0 | 0>с |2 = ехр (- V2 | w |2),
<л 10>с = (w*n / ]4лТ) | а<010>с I2,
I °>с = I а<° I 0>с I2 ехр (w'a+) | 0>а
Вектор состояния с индексом а является собственным вектором оператора
а+а, а индексом с отмечаются собственные векторы опера"
тора с+с.
Глава VII
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ И ЛИНЕЙНЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
7.1. Введение
Атом с двумя энергетическими уровнями может переходить на более низкий
энергетический уровень с одновременным испусканием фотона как за счет
стимулированного (индуцированного), так и за счет спонтанного излучения.
Он может также поглотить фотон из поля падающего излучения и перейти на
верхний энергетический уровень. В гл. V мы видели, что вероятность
индуцированного излучения совпадает с вероятностью поглощения. Тогда,
если на некоторое время пренебречь спонтанным излучением и предположить,
что большинство атомов в поле излучения находится в нижнем энергетическом
состоянии, то из падающего на атомную систему излучения будет поглощено
больше фотонов, чем испущено возбужденными атомами. В этом случае мы
имеем дело с процессом поглощения излучения, проходящего через систему
атомов. Этот процесс является обычным процессом поглощения в случае,
когда атомы находятся в тепловом равновесии при температуре Т, так как в
этом случае распределение атомов по возможным состояниям описывается
распределением Больцмана. При этом на нижних уровнях находится большее
количество атомов, чем на верхнем энергетическом уровне. С другой
стороны, если сделать так, что на верхнем энергетическом уровне находится
большее количество атомов, чем на нижнем, то излучаться будет большее
число квантов, чем поглощаться. В этом случае будет происходить усиление
падающего излучения. Такова простейшая теория работы мазера [42].
336 КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ [ГЛ. YII
Состояние вещества, когда большая часть атомов находится в верхнем
возбужденном состоянии, получило название инверсной населенности. Процесс
создания такого состояния получил название "накачки".
Усиление излучения в системе обусловливается индуцированными переходами
атомов в нижнее энергетическое состояние. Это индуцированное излучение
когерентно с падающим излучением. Одновременно, как мы уже знаем,
происходит спонтанная эмиссия излучения возбужденными атомами. Это
излучение носит случайный характер по отношению к входному сигналу и дает
