Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
П п
(6.8)
которое вытекает из того, что след может быть вычислен в любом
представлении, если выбранная система базисных векторов состояния {|п>}
является полной.
Далее покажем, что если А - наблюдаемая величина, то ее среднее значение
равно
(А) = Sp рЛ. (6.9)
6.3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА 297
Для этого используем соотношения (6.4) и (6.9) и получим, что
(А) = Sp (2 I Ф> Рф <Ф М) = 2 Рф <Ч> IА I 'Ф>-
Ф Ф
Это выражение в точности совпадает с определением (6.2). При
доказательстве было использовано соотношение (6.8) с (Ф I = ('ф | И. В
силу этого мы можем с помощью статистического оператора (6.4)
рассчитывать не только средние по ансамблю от наблюдаемых, но и средние
значения от функции наблюдаемых, т. е.
</ (А)} = Sp р/ (А). (6.10)
В одном из следующих разделов будет рассмотрен статистический оператор
для чистого состояния.
6.3. Некоторые свойства статистического оператора
Статистический оператор р, определенный формулой
(6.4), является эрмитовым положительно определенным оператором, а его
след равен единице. Для того чтобы показать это, образуем оператор,
эрмитово сопряженный оператору (6.4). В силу вещественности и
положительности статистических весов получим, что
р+ = (Еаиф)<Ф|)+ = 2^><'И = р- (6-11)
ф ф
Следовательно, оператор р эрмитов. Раньше мы уже показали, что Spp = 1.
Для того чтобы показать, что оператор р является пложительно определенным
оператором, рассмотрим произвольный кет-вектор | %>. С помощью формулы
(6.4) мы можем образовать следующее выражение:
<Х I Р I Х> = 2рф<Х|Ф><Ф1х> = 2рф1<11,1х>|2>0. (6.12)
Ф ф
Неравенство (6.12) следует из того, что вероятности рф являются
вещественными и положительными величинами. Так как след оператора р равен
единице, то все диагональные матричные элемены этого оператора в любом
представлении должны быть вещественными числами и находиться в интервале
между нулем и единицей.
298
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. vr
Можно также показать, что любой положительно определенный эрмитов
оператор, след которого равен единице, можно рассматривать как
статистический оператор, представляющий некоторый ансамбль. При этом
такой оператор всегда можно записать в виде (6.4).
Прежде чем переходить к доказательству этого утверждения, выведем ряд
соотношений. Из общей теории матриц известно, что любой эрмитов оператор
может быть диагонализован (т. е. приведен к диагональному виду) с помощью
некоторого унитарного преобразования. Таким образом, если 5 есть матрица
преобразования от одного представления к другому (см. раздел 1.10) и при
этом
то тогда S можно выбрать так, чтобы удовлетворялось уравнение
SpS+ - р', (6.14)
где р' - искомая диагональная матрица. Если мы вычислим след от обеих
частей равенства (6.14), то получим
Sp iS'p5'+ = Spp>S'iS'+ = Sp р = 1 = Spp'. (6.15)
Здесь мы использовали равенство (6.13), а также тот факт, что если след
существует, то Sp ABC = Sp ВС А. Следовательно, след является инвариантом
относительно любого унитарного преобразования. В диагональном
представлении диагональные матричные элементы оператора р' равны рп- Оии
вещественны и удовлетворяют следующим условиям:
Эти числа являются собственными значениями статистического оператора.
В силу этого, если р' - положительно определенный эрмитов оператор, след
которого равен единице, то этот оператор в диагональном представлении
(при | п ) = = 5 | ф" имеет вид
S+ = s-1,
(6.13)
2р; = 1. о<р;<1.
(6.16)
п
р' = 2 р"1 "><"|.
(6.17)
п
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА р
299
где р' - невырожденные собственные значения. Векторы состояния {| л)}
образуют полную ортогональную систему. Так как след оператора р равен
единице, то
2 Р" = !•
П
Поскольку собственные значения оператора р вещественны и положительны, то
они ограничены неравенством
О < Рп < 1-
Таким образом, величины р'п подчиняются тем же условиям, которым доляшы
удовлетворять статистические веса, а это значит, что оператор р' можно
рассматривать как статистический оператор, описывающий смесь состояний |
л), каждое из которых обладает весомрп'. Именно это мы и хотели доказать.
Следующее свойство статистического оператора определяется соотношением
Spp2<l. (6.18)
Действительно, в силу того, что след является инвариантом унитарного
преобразования, мы можем записать
Sp р2 = Sp р'2 = 2 Р"2 < (2 Р")2 = (3Р р')2 = '¦!>
П П
и неравенство (6.18) доказано. В процессе доказательства мы использовали
соотношения (6.16).
6.4, Уравнение движения для оператора р
Если известно, что в момент времени t = t0 состояние квантовой системы
описывается вектором | ip (?0).\ то в момент t оно определяется следующим
образом (см. (1.200)):
I 'Ф (0) = U (t, t0) | гр (t0)) (6.19)
при условии, что в течение интервала времени t - t0 система не
возмущается измерением. При этом оператор U удовлетворяет уравнению
(1.202):
т^- = ни, (6.20)
300
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
и условию (1.203):
U(t0, tо) - /. (6.21)
Теперь предположим, что мы не имеем полной информации о состоянии системы
