Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Эренфеста.
Рассмотрим ансамбль частиц со спином 1/2. Ожидаемые значения трех
компонент спина (т. е. средние по ансамблю) определяются следующим
образом (см. (6.26)):
8 = <ст> = Sp [pg (t) orsl = Sp (PH (g ffH (*)}, (6.55)
где a = ax, oy, <sz - компоненты оператора спина, a p - матрица
плотности, описывающая ансамбль спинов *). В выражении (6.55) мы можем
использовать либо представление Гейзенберга, либо представление
Шредингера.
Все спины могут находиться в определенном известном состоянии. В этом
случае состояние системы спинов является чистым и каждый элемент ансамбля
находится в
*) Читатель не должен путать s в (6.55) со спиновым оператором s = fro/
2.
6.7] МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1/2 311
этом состоянии. Если же состояние спинов неизвестно, то ансамбль спинов
находится в смешанном состоянии.
Покажем теперь, что измерения величин sx, sy, sz вполне достаточно для
полного определения состояния системы, т. е. мы можем выразить р через
эти компоненты; а это значит, что полученное состояние будет
соответствовать чистому состоянию, когда известны sx, sy и sz.
Так как спин 1/2 имеет две проекции на выделенное направление, то система
таких спинов может быть описана двухрядной матрицей плотности. В то же
время любая двухрядная матрица может быть представлена с помощью трех
матриц Паули щ и одной двухрядной единичной матрицы I. Следовательно,
матрица плотности для ансамбля частиц со спином 1/2 всегда может быть
записана в следующей форме:
р = с01 + сгах + сгау + c3az, (6.56)
где I - четырехкомпонентная единичная матрица:
'1 О"
О 1
I =
(6.57)
ГО 11 1 О Г1 01
а* = 1 О ^¦i I <3у - + 1 0 . = ! ^¦1 1 О
а спиновые матрицы Паули в az-представлении имеют вид
. (6.58)
Постоянные с0, сх, с2 и с3 определяются следующим образом. Мы знаем, что
если р - матрица плотности, то Spp = 1. Вычислив след от обеих частей
равенства (6.56), получим
Spp = 1 = 2с0,
так как Sp щ - 0. Отсюда следует, что с0 = 1/2. Умножим теперь обе части
равенства (6.56) справа на ох и вычислим след обеих частей полученного
выражения. Как мы знаем из гл. II и III, Sp = 26i;- (i, / = 1,2, 3).
Поэтому
sx = Sp ра* = 2сг.
Таким образом, сг = l/2sx, где sx - среднее по ансамблю от ах.
Аналогичным образом, если мы умножим последо-
312
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
1ГЛ. VI
вательно обе части выражения (6.56) на ау и oz и вычислим след, то
получим
2 с2,
5г - 2ся.
Если подставить эти выражения для сх, с2 и с3 в (6.56) и использовать для
матриц Паули представление (6.58), то получим матрицу плотности в виде
1 -}- sz sx iSy sx + iSy 1 - sz
(6.59)
Следовательно, если известны все три компоненты спинов системы sx, sy и
sz, то матрица плотности определена полностью. Тер-Хаар [35] назвал такой
подход к матрице плотности операционным подходом в противоположность
статистическому подходу, использованному ранее в этой главе.
Запишем теперь оператор р в произвольном представлении. Для этого
подставим в выражение (6.56) вычисленные ранее величины с.Тогда получим,
что
<V* + <Vv + 6ZSZ) = -я- (/ + {в a)). (6.60)
Рассмотрим теперь простой частный случай. Предположим, что все спины
находятся в чистом состоянии,
например в состоянии | +1), по определению
az | + 1> = +1 | +1). (6.61)
Согласно (6.4) оператор р для этого чистого состояния имеет вид
р = I +1><+1 | , (6.62)
и на основе условий ортогональности и нормировки (см. гл. II и III)
<+1 | +1) = (-1 | -1> = 1, (6.63)
< + 1 | -1> = <-1 | +1> = 0
его можно представить в следующем виде:
Ч 0 р= 0 0
(6.64)
6.7] МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ ДЛЙ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1/2 3i3
Это выражение полностью согласуется с представлением (6.59), так как для
состояния! +1) средние значения компонент спина соответственно равны
<Ох> = = < + 1 I Ox I + 1> = О,
= sy = ( + 1 | ау | +1) = 0, (6.65)
<crz> = sz = < + 1 I az I +1) = 1.
Действительно, подставляя эти значения в (6.59), получим (6.64).
Если | о|)> - любое чистое состояние, то его всегда можно записать в виде
разложения по состояниям ) +1) и | -1>:
| т|>> = d1 | +1) + d2 | -1>, (6.66)
(из условия нормировки | dx | 2 + | d2 |а = 1) в пред-
ставлении, в котором nz диагонально, т. е. в представлении (6.58); тогда
для выражения (6.59) получаем
Р
f1'2 dld2 |. (6.67)
Ш2 |da|* 1
Легко показать, что Spp2 = 1, как и должно быть для любого чистого
состояния.
Теперь рассмотрим поведение спина в магнитном поле H(t). Как мы уже
знаем, в этом случае гамильтониан имеет вид
H = ^-(aH(t)). (6.68)
Среднее значение магнитного момента М (t) равно
м = <(л> = Sp р(г) (и = - -у-Spp (г) а, (6.69)
так как
ц=-^-сг. (6.70)
В силу (6.68) уравнение движения для матрицы плотности р (t) имеет вид
= [Я,р] =^-[(сЛГ),р]. (6.71)
314
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
В представлении Шредингера матрица плотности р (t) определяется с помощью
выражения (6.60) следующим образом:
Р(9 = 4" V + (а8Ш- (6-72)
Отсюда получаем, что
"$-=4 ("?)• <°-73>
Таким образом, с помощью формул (6.72) и (6.73) уравнение (6.71)
