Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
<Я> = 4-"Р>2 + (r)2 <<72" - т- = 4*(<Р>2 + <?>2) +
+ ^-(cth4 l) = Йшга + ^-(cth4 l) . (6.136)
где ix = | w |2 - среднее число квантов сигнала. Первый член представляет
собой среднюю энергию сигнала, а второй - среднюю энергию шумов. Решив
уравнение (6.136) относительно X, получим
Если мы положим X = Н(?>$' и перейдем к пределу при Н 0, то тогда <Е> кТ,
где Т - равновесная температура. В то же время величина Нап стремится к
своему классическому значению, так что выписанное выше равенство
превращается в следующее:
Мы можем теперь определить эффективную температуру Т' с помощью
соотношения
<р2> = <рУ + ц р = <р>2 + J- cth4-"
1 (6.135)
W> = <q>2 + s <g>2 + cth 4 •
= <?¦> _ nan.
eh - 1
кТ - Кап
1
330
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
Отсюда следует, что X = ha/kT' и благодаря присутствию сигнала
эффективная температура становится меньше, чем действительная температура
Т теплового резервуара. Следовательно, статистический оператор (6.128)
описывает сигнал в присутствии гауссова шума.
6.12. Энтропия сигналов и шумов
Как мы показали ранее, для ансамбля, который описывается статистическим
оператором (6.96):
р = ехр(- n)ew*a+ |0> <0|ewa, (6.137)
выполняется условие Sp р2 = 1 (| w | 2 = п), так что система находится в
чистом состоянии. В данном случае о системе известна вся информация,
которая допускается квантовой механикой. Поэтому энтропия такой системы
должна быть равна нулю. Проверим этот общий вывод на примере вычисления
энтропии для одного специального случая.
Предварительно заметим, что оператор | 0><0 | можно записать следующим
образом *):
10> <0 j = lim e_Ea + " =lim N {exp (e_E - 1) a+ a}, (6.138)
€-*00 ?-*00
где N - оператор нормального упорядочения, который был введен в гл. III.
Для того чтобы показать это, рассмотрим матричные элементы операторов в
левой и правой частях равенства (6.138). Матричный элемент оператора |
0><0 | равен Sn06m0, в то время как в правой части получаем
lim | | ту = Пш е~Ет6пт
?-*¦00 ? -*¦ ОО
И ВИДИМ, ЧТО
"" Г 0, тф о, lim <rtm = {
е-оо (.1, т = 0.
Поэтому правая часть равна бптбт0 = 6n06m0, и утверждение доказано.
*) Эта форма записи проекционного оператора была рекомендована автору
Геффнером,
6.12]
ЭНТРОПИЯ СИГНАЛОВ И ШУМОВ
331
Вторая форма выражения (6.138) уже рассматривалась нами ранее в гл. III.
С помощью выражения (6.138) мы можем представить теперь оператор
плотности (6.137) в виде
р = Пт ехр (- п) ew"a+ N {ехр (е~е - 1) а+а} ewa -
?-*¦00
= lim ехр(-^) N X
\ е - 1 /
X { ехр
_ 1) (;+ + _i_) (; + . (6.139)
Последняя форма р следует из того, что предыдущее выражение для р уже
приведено к нормальной форме. А тогда под знаком оператора N можно
образовать полный квадрат.
Если мы сравним статистический оператор (6.139) для ансамбля в чистом
пуассоновском состоянии со статистическим оператором (6.128), который
описывает ансамбль в смешанном состоянии, то мы увидим, что они имеют
одинаковую форму, если заменить величину К в (6.128) на 1 - e-t, а
величину w в (6.128) на wl( 1 - е~е). Тогда
(6.128) и (6.139) будут отличаться лишь оператором нормального
упорядочения.
Отсюда видно, каким образом можно найти представление, в котором матрица
плотности р в (6.139) диагональна. Для этого положим
с = а-~^-т, с+ = а+- -(6.140)
1 - е е 1 - е 6
Тогда выражение (6.139) приобретает вид р = lim ехр [ -^) N {ехр [ - (1 -
е~е) с+с]} =
е-оо \ е - 1 /
= lim ехр (-'j е-ЕС+с. (6.141)
?->оо \ € 1 J
Здесь мы уже перешли к выражению, не приведенному к нормальной форме. В
силу того, что
lim ехр -^- = 1, ?->00 6 1
332
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
мы можем записать р в виде
p = lime-E0+c. (6.142)
е-*ад
Теперь олень легко рассчитать энтропию в представлении, в котором
оператор с+с диагоналей. Если с+с | п)с = = п | п)с, то
оо
S = - &Spplnp= - lim к 2 с(.п I e~tc+c In e~tc+c| ra>c =
t-оо n=0 oo
= lim кг 2 71 (О" = lim кг- e 2- -> 0.
t-"+oo n=0 e-°o (1 - e )
Таким образом, путем прямых вычислений мы показали, что энтропия
рассматриваемой системы, находящейся в чистом состоянии, равна нулю.
Сравнивая выражения (6.138) и (6.142), можно отметить, что для чистого
пуассоновского состояния матрицу плотности р можно записать также
следующим образом:
Р = 10>с с<0 | = ехр (- п) ew*a+ 10>a а<0 | е(tm), (6.143)
где 1 0)с - вакуумное состояние для операторов с и с+. Независимо от
проведенного выше анализа можно показать, что
|0>с = ехр(-4)сЛ+|0>а (6.144)
(см. задачу 6.9).
Энтропию для состояния (6.128), в котором одновременно с сигналом имеется
некоторый шум, можно очень просто рассчитать в использованном нами с-
представле-нии. В этом случае мы получим
S = _** к In (1 - е-х) =
е - 1 '
= r'[exp(W)^T] ~ к 1П L1 - 6ХР (~ -&)] ' (6Л45>
где, как и в предыдущем разделе, мы положили к = = Па/кГ и кТ' = <?> -
йош.
fl.12]
ЗАДАЧИ
333
Легко также показать, что энтропия состояния, которое представляет собой
только экспоненциальный шум вида (6.111), равна
J = Wxp (Н%Т) - И - Ып [l - ехр (- it)] •
