Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
pi(0) = (l-e-xi)e-xi1't1'j, (7.5)
Тт-
Таким образом, фононы эквивалентны ансамблю гармонических осцилляторов,
находящихся в тепловом равновесии с некоторым резервуаром тепла
температуры Т.
Предположим теперь, что твердое тело находится в электромагнитном поле
резонатора, которое имеет вид одной моды резонатора с частотой со,
близкой к частотам (Dj, т. е. со st; а>}-. Перед тем, как ввести связь
между этими двумя квантовыми системами, т. е. между ансамблем упругих
колебаний (фононы) и модой электромагнитного колебания резонатора
(фотон), запишем гамильтониан невзаимодействующих систем. Он имеет вид
Н0 = /ша+а + 2 kmjbfbj, (7.7)
i
где [а, а+] = 1, [а, а] = [а+, а+] = 0 и все операторы а коммутируют со
всеми операторами Ь. Причем здесь операторы bj и bf являются операторами
соответственно уничтожения и рождения фонона частоты со,-. Этот
гамильтониан описывает состояние системы, когда мода
342
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ [ГЛ. VII
резонатора (электромагнитное поле) и моды колебаний решетки (упругое
поле) не связаны друг с другом. Мы будем считать, что совокупность
гармонических осцилляторов поля излучения описывается в момент времени t
= О оператором плотности pf (0), а совокупность упругих колебаний в тот
же момент времени описывается, как мы уже видели, оператором плотности рl
(0). Явный вид оператора р, (0) будет установлен нами несколько позднее.
Для того чтобы между электромагнитным полем и упругими колебаниями
решетки происходил обмен энергией, необходимо в гамильтониан системы
добавить член, учитывающий связь между этими двумя подсистемами. Для
ионного кристалла такая связь может возникать за счет взаимодействия
заряженных ионов с электромагнитным полем. Очевидно, что существуют и
другие механизмы, которые могут быть ответственны за установление такой
связи (например, кристалл может иметь различные диполи, которые также
взаимодействуют с электромагнитным полем). Простейший гамильтониан
взаимодействия, который сохраняет полную энергию системы, можно записать
в виде
Коэффициенты связи kj считаются малыми по сравнению с частотами со и со j
и зависят от параметров тех физических процессов, которые реально
ответственны за механизм связи. Такими параметрами могут быть, например,
заряд иона или дипольные моменты атомов кристалла. Кроме того, введенные
выше феноменологически члены, ответственные за связь между двумя
подсистемами, имеют резонансный характер, т. е. они очень сильно
связывают только те фононы, частоты со;- которых близки к частоте со
рассматриваемой моды резонатора. Физически это условие достаточно
очевидно, если исходить из той картины взаимодействия осцилляторов,
которая была обрисована выше.
Приведенный выше гамильтониан Н1 эрмитов. Однако возникает вполне
естественный вопрос: почему члены вида
Нх = 2 % {kjO^bj -f- k'abf).
(7.8)
kjO^bf -f- k'abj,
(7.9)
7.2]
МОДЕЛЬ МЕХАНИЗМА ПОТЕРЬ. ФОНОНЫ
343
которые также эрмитовы и имеют ту же самую величину связи, что и члены в
(7.8), не были включены в гамильтониан взаимодействия (7.8)? Вообще
говоря, эти члены могут быть включены в гамильтониан Нг. Но можно
показать, что вклад от них в реальное взаимодействие между двумя
подсистемами будем малым. Действительно, если между двумя подсистемами
нет никакой связи, то из выражений (7.7) следует, что в отсутствие связи
a (?) = ае~ш, bj (?) = bje'W.
Когда включается связь, то величины а и Ь}- в правых частях этих равенств
становятся функциями времени. Однако если величина связи мала, т. е. kj
со;- ~ со, то а и bj будут медленно меняющимися функциями времени. В силу
этого такой член в гамильтониане взаимодействия, как а+ (t) bf (t), будет
пропорционален ехр U (со + co;-)d~
^ ехр (2ссод), а член вида abf-пропорционален
ехр [? (со^ - со)?] 1.
Это значит, что члены в выражении (7.8) с течением времени остаются
приблизительно постоянными, а члены вида (7.9) очень быстро осциллируют.
В связи с тем, что взаимодействие между двумя подсистемами происходит в
течение большого числа периодов колебаний с частотой СО;, члены вида
(7.9) будут при усреднении давать нуль. Поэтому мы для простоты будем
пренебрегать в гамильтониане взаимодействия Нг членами вида (7.9).
Следует, однако, заметить, что, когда связь становится достаточно
сильной, пренебрежение членами вида (7.9) не всегда
явл~яетсяПзправданг[Ь1м (ибсГ присильной связи решения, которые приводят
в (7.9) к ехр (2?соjt), могут отсутствовать вообще).
В результате этих обсуждений мы можем перейти к математической постановке
задачи. Пусть взаимодействие включается в момент времени t == 0, а
гамильтониан для одной моды резонатора, взаимодействующей со многими
осцилляторами потерь (фононами), имеет вид
#=#" + #! =
- Н(оа+а + 2 bmjbfbj +2 Ь (kja+bj + k'abf), (7,10)
i j
344
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ [ГЛ. VII
Этот гамильтониан описывает влияние поля излучения на осцилляторы потерь,
а также и обратное влияние осцилляторов потерь (фононов) на поле
